Seja
com distribuição normal. Sabe-se que
e
. Qual é a esperança de X?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal. Sabemos que $ P(X < 25) = 0,82 $ e $ P(X > 20) = 0,70 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a esperança de $ X $, ou seja, o valor médio esperado, que também é conhecido como a média $ \mu $ da distribuição.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar que uma distribuição normal é totalmente definida pela sua média $ \mu $ e pelo desvio padrão $ \sigma $. A esperança de $ X $ é justamente $ \mu
P(X < 25) $ e $ P(X > 20) $), podemos usar essas informações para montar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar $ \mu $ e $ \sigma $.
Passo 3
Vamos primeiro reescrever as probabilidades em termos da distribuição normal padrão. Sabemos que:
Podemos converter isso para a forma padrão $ Z $ usando a fórmula:
Então, para $ P(X < 25) = 0,82 $:
E para $ P(X < 20) = 0,30 $ (já que $ P(X > 20) = 0,70 $):
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de $ z_1 $ e $ z_2 $ que correspondem às probabilidades dadas. Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
- Para $ P(Z < z_1) = 0,82 $, temos $ z_1 \approx 0,915 $
- Para $ P(Z < z_2) = 0,30 $, temos $ z_2 \approx -0,524 $
Passo 5
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ \mu $ e $ \sigma $.
Passo 6
Primeiro, vamos multiplicar ambas as equações por $ \sigma $ para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar $ \mu $:
Passo 8
Resolvendo para $ \sigma $:
Passo 9
Agora que temos $ \sigma $, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar $ \mu $. Usando a equação (1’):
Resposta
A esperança de $ X $ é aproximadamente $ \mu = 21,83 $.