Seja X com distribuição normal. Sabe-se que P(X<25)=0,82 e P(X>20)=0,70. Qual é a esperança de X?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal. Sabemos que $ P(X < 25) = 0,82 $ e $ P(X > 20) = 0,70 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a esperança de $ X $, ou seja, o valor médio esperado, que também é conhecido como a média $ \mu $ da distribuição.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar que uma distribuição normal é totalmente definida pela sua média $ \mu $ e pelo desvio padrão $ \sigma $. A esperança de $ X $ é justamente $ \mu mu P(X < 25) $ e $ P(X > 20) $), podemos usar essas informações para montar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar $ \mu $ e $ \sigma $.

Passo 3

Vamos primeiro reescrever as probabilidades em termos da distribuição normal padrão. Sabemos que:
P(X < 25) = 0,82 e P(X > 20) = 0,70
Podemos converter isso para a forma padrão $ Z $ usando a fórmula:
Z
Então, para $ P(X < 25) = 0,82 $:
Z = X - musigma
E para $ P(X < 20) = 0,30 $ (já que $ P(X > 20) = 0,70 $):
P(X < 25) = 0,82

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de $ z_1 $ e $ z_2 $ que correspondem às probabilidades dadas. Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
  • Para $ P(Z < z_1) = 0,82 $, temos $ z_1 \approx 0,915 $
  • Para $ P(Z < z_2) = 0,30 $, temos $ z_2 \approx -0,524 $

Passo 5

Agora, temos duas equações:
25 - musigma = 0,915 (1)
20 - musigma = -0,524 (2)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ \mu $ e $ \sigma $.

Passo 6

Primeiro, vamos multiplicar ambas as equações por $ \sigma $ para eliminar o denominador:
sigma
25 - mu = 0,915sigma (1')

Passo 7

Agora, subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar $ \mu $:
mu
(25 - mu) - (20 - mu) = 0,915sigma - (-0,524sigma)

Passo 8

Resolvendo para $ \sigma $:
sigma

Passo 9

Agora que temos $ \sigma $, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar $ \mu $. Usando a equação (1’):
sigma
mu
25 - mu = 0,915 times 3,47

Resposta

A esperança de $ X $ é aproximadamente $ \mu = 21,83 $.

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