A força de resistência do ar ao movimento do carro é aproximadamente proporcional a velocidade A Resistência adicional é constante, de modo que a aceleração do carro pode ser escrita como a=-C1-C2 v^2, onde C1 e C2 são constantes que dependem da configuração mecânica do carro. Se o carro tem uma velocidade inicial vo quando o motor está desengatado.
b) Encontre o tempo para o carro parar por inércia.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro que está se movendo com uma velocidade inicial quando o motor é desengatado. A aceleração do carro é dada por , onde e são constantes que dependem da configuração do carro. Queremos descobrir quanto tempo o carro leva para parar por inércia, ou seja, quando sua velocidade chega a zero.
Aqui, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica de movimentos com resistência. Precisamos resolver uma equação diferencial que relaciona a velocidade do carro com o tempo, levando em conta as forças de resistência que atuam sobre ele.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a aceleração a = dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
dvdt = -C1 - C2 v^2
Substituindo a expressão da aceleração fornecida na questão:

Passo 3

Vamos separar as variáveis para resolver a equação diferencial. Queremos deixar todos os termos com dvC1 + C2 v^2 = -dt de um lado e os termos com do outro:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a integral dvC1 + C2 v^2 = -integral dt e do lado direito em relação a :

Passo 5

Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos usar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos fatorar integral dvC2 ( C1C2 + v^2 ) = -integral dt do denominador:
1C2 integral dvC1C2 + v^2 = -t + C
Aqui, é a constante de integração.

Passo 6

A integral 1C2 cdot 1raizC1C2 arctan( vraizC1C2 ) = -t + C é conhecida e resulta em 1raizC1 C2 arctan( v raizC2C1 ) = -t + C . Aplicando isso:
Simplificando os termos:

Passo 7

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante 1raizC1 C2 arctan( v0 raizC2C1 ) = C . Quando 1raizC1 C2 arctan( v raizC2C1 ) = -t + 1raizC1 C2 arctan( v0 raizC2C1 ) , :
Então, a equação fica:

Passo 8

Resolvendo para t = 1raizC1 C2 [ arctan( v0 raizC2C1 ) - arctan( v raizC2C1 ) ] :
t = 1raizC1 C2 arctan( v0 raizC2C1 )
Quando o carro para, , então:

Resposta

O tempo necessário para o carro parar por inércia é:
t = 1raizC1 C2 arctan( v0 raizC2C1 )

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