A força de resistência do ar ao movimento do carro é aproximadamente proporcional a velocidade A Resistência adicional é constante, de modo que a aceleração do carro pode ser escrita como , onde e são constantes que dependem da configuração mecânica do carro. Se o carro tem uma velocidade inicial vo quando o motor está desengatado.
b) Encontre o tempo para o carro parar por inércia.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro que está se movendo com uma velocidade inicial quando o motor é desengatado. A aceleração do carro é dada por , onde e são constantes que dependem da configuração do carro. Queremos descobrir quanto tempo o carro leva para parar por inércia, ou seja, quando sua velocidade chega a zero.
Aqui, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica de movimentos com resistência. Precisamos resolver uma equação diferencial que relaciona a velocidade do carro com o tempo, levando em conta as forças de resistência que atuam sobre ele.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da aceleração fornecida na questão:
Passo 3
Vamos separar as variáveis para resolver a equação diferencial. Queremos deixar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e do lado direito em relação a :
Passo 5
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos usar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos fatorar do denominador:
Aqui, é a constante de integração.
Passo 6
A integral é conhecida e resulta em . Aplicando isso:
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante . Quando , :
Então, a equação fica:
Passo 8
Resolvendo para :
Quando o carro para, , então:
Resposta
O tempo necessário para o carro parar por inércia é: