Ainda considerando o tensor de tensões da Questão 1, determine o vetor unitário tangente ao plano de normal unitário dada por . ( 20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor unitário tangente a um plano que tem um vetor normal unitário . Basicamente, estamos trabalhando com Vetores e Geometria Espacial. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores tangentes e normais funcionam em relação a planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor tangente a um plano é perpendicular ao vetor normal desse plano. Matemática disso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:
Além disso, como é unitário, sua magnitude deve ser igual a 1:

Passo 3

Vamos escrever como . O produto escalar entre e fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição de que é unitário:
Substituindo da equação anterior:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 5

Para facilitar, vamos assumir que (um parâmetro qualquer). Então, temos:
Isso é uma equação quadrática em . Podemos resolver para em termos de , mas para simplificar, vamos escolher um valor para que facilite os cálculos. Suponha que :
Então, temos dois possíveis vetores:

Resposta

Um vetor unitário tangente ao plano dado é .

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