Ainda considerando o tensor de tensões da Questão 1, determine o vetor unitário tangente
ao plano de normal unitário dada por
. ( 20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor unitário tangente
a um plano que tem um vetor normal unitário
. Basicamente, estamos trabalhando com Vetores e Geometria Espacial. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores tangentes e normais funcionam em relação a planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor tangente a um plano é perpendicular ao vetor normal desse plano. Matemática disso significa que o produto escalar entre
e
deve ser zero:
Além disso, como
é unitário, sua magnitude deve ser igual a 1:
Passo 3
Vamos escrever
como
. O produto escalar entre
e
fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a condição de que
é unitário:
Substituindo
da equação anterior:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 5
Para facilitar, vamos assumir que
(um parâmetro qualquer). Então, temos:
Isso é uma equação quadrática em
. Podemos resolver para
em termos de
, mas para simplificar, vamos escolher um valor para
que facilite os cálculos. Suponha que
:
Então, temos dois possíveis vetores:
Resposta
Um vetor unitário tangente ao plano dado é
.
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e
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