Ainda considerando o tensor de tensões da Questão 1, determine o vetor unitário tangente m ao plano de normal unitário dada por n=(-1raiz3, 1raiz3,-1raiz3). ( 20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor unitário tangente a um plano que tem um vetor normal unitário . Basicamente, estamos trabalhando com Vetores e Geometria Espacial. Para resolver isso, vamos precisar entender como vetores tangentes e normais funcionam em relação a planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor tangente a um plano é perpendicular ao vetor normal desse plano. Matemática disso significa que o produto escalar entre m cdot n = 0 e |m| = 1 deve ser zero:
Além disso, como é unitário, sua magnitude deve ser igual a 1:

Passo 3

Vamos escrever -1raiz3 cdot m1 + 1raiz3 cdot m2 - 1raiz3 cdot m3 = 0 como - m1 + m2 - m3 = 0 Rightarrow m2 = m1 + m3 . O produto escalar entre e fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição de que m1^2 + m2^2 + m3^2 = 1 é unitário:
m1^2 + (m1 + m3)^2 + m3^2 = 1
Substituindo m1^2 + m1^2 + 2m1m3 + m3^2 + m3^2 = 1 Rightarrow 2m1^2 + 2m1m3 + 2m3^2 = 1 da equação anterior:
m1^2 + m1m3 + m3^2 = 12
Expandindo:
Simplificando:

Passo 5

Para facilitar, vamos assumir que m1^2 + m1 t + t^2 = 12 (um parâmetro qualquer). Então, temos:
m1^2 + 0 + 0 = 12 Rightarrow m1 = pm raiz22
Isso é uma equação quadrática em m = (raiz22, raiz22, 0) ou m = (-raiz22, -raiz22, 0) . Podemos resolver para em termos de , mas para simplificar, vamos escolher um valor para que facilite os cálculos. Suponha que :
Então, temos dois possíveis vetores:

Resposta

Um vetor unitário tangente ao plano dado é .

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