A função corrente de um campo de escoamento bidimensional e incompressível é
psi=3 x^2 y+y
Faça um gráfico que apresenta várias linhas de corrente deste escoamento

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função corrente de um campo de escoamento bidimensional e incompressível, que é dada por:
psi = 3x^2y + y
Nosso objetivo aqui é fazer um gráfico com várias linhas de corrente desse escoamento. Para isso, vamos precisar saber o que são linhas de corrente e como elas se relacionam com a função corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função corrente. Em um escoamento bidimensional incompressível, a função corrente nos ajuda a visualizar as trajetórias que as partículas do fluido seguem. As linhas de corrente são curvas no plano onde a função é constante. Ou seja, para diferentes valores de , temos diferentes linhas de corrente.

Passo 3

Para desenhar as linhas de corrente, vamos escolher alguns valores específicos para e resolver a equação para em função de ou vice-versa. Isso nos dará as equações das diferentes linhas que vamos plotar no gráfico.

Passo 4

Vamos escolher alguns valores para . Por exemplo, podemos escolher , , , e . Assim, teremos cinco linhas de corrente diferentes para desenhar.

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação 3x^2y + y = C y(3x^2 + 1) = C y = C3x^2 + 1 para cada valor escolhido de y = 03x^2 + 1 = 0 .
Para y = 13x^2 + 1 (onde y = 23x^2 + 1 é uma constante):
y = 33x^2 + 1
Então, para cada y = 43x^2 + 1 escolhido, temos:
  • Para :
    Isso representa o eixo .
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Com essas equações, podemos plotar as linhas de corrente no plano . Cada equação representa uma curva onde as partículas do fluido seguem, mantendo a função corrente constante.
Por exemplo:
  • A linha de corrente para é simplesmente o eixo .
  • À medida que aumenta, as linhas de corrente se aproximam mais do eixo , mas nunca o tocam, pois o denominador garante que nunca seja infinito.

Passo 7

Para visualizar, você pode usar um software de plotagem gráfica como o Desmos, GeoGebra ou qualquer outra ferramenta de sua preferência. Basta inserir cada uma das equações de para os diferentes valores de e observar como as linhas se distribuem no plano.

Resposta

As linhas de corrente para a função são dadas por , onde é uma constante. Ao escolher diferentes valores de (como 0, 1, 2, 3, 4), obtemos várias curvas que representam as trajetórias do escoamento no plano . Plotando essas equações em um gráfico, visualizamos as várias linhas de corrente desse escoamento bidimensional e incompressível.

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