Os componentes do vetor velocidade de um escoamento bidimensional e incompressível são dados por
u=2 x y v=x^2-y^2
calcule a função corrente e a velocidade resultante potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um escoamento bidimensional incompressível, e nos dá as componentes da velocidade u e v. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a função corrente (que chamamos de ψ) e a função potencial (φ). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos e cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função corrente ψ. Em um escoamento incompressível, a função corrente é útil porque suas derivadas nos dão as componentes da velocidade. A relação é:
u = partial psipartial y e v = -partial psipartial x
Isso significa que, para encontrar ψ, precisamos integrar u em relação a y e garantir que as derivadas coincidam com v.

Passo 3

Vamos começar integrando u = 2xy em relação a y para encontrar ψ:
psi = integral u , dy = integral 2xy , dy = x y^2 + g(x)
Aqui, g(x) é uma função que depende apenas de x e surge porque a integração em relação a y pode incluir uma função arbitrária de x.

Passo 4

Agora, usamos a segunda relação, v = -∂ψ/∂x, para encontrar g(x). Calculamos a derivada de ψ em relação a x:
partial psipartial x = y^2 + g'(x)
Igualando a -v:
y^2 + g'(x) = -(x^2 - y^2) y^2 + g'(x) = -x^2 + y^2 g'(x) = -x^2
Agora, integramos g'(x) para encontrar g(x):
g(x) = integral -x^2 , dx = -x^33 + C
Onde C é uma constante, que podemos ignorar para simplificação.

Passo 5

Substituímos g(x) de volta na expressão de ψ:
psi = x y^2 - x^33
Então, a função corrente é:
psi(x, y) = x y^2 - x^33

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial φ. Para que a função potencial exista, o escoamento precisa ser irrotacional, ou seja, o rotacional das velocidades deve ser zero. Vamos verificar isso:
Rot(V) = partial vpartial x - partial upartial y = 2x - 2x = 0
Como o rotacional é zero, podemos encontrar φ tal que:
u = partial phipartial x e v = partial phipartial y

Passo 7

Primeiro, integramos u = 2xy em relação a x para encontrar φ:
phi = integral u , dx = integral 2xy , dx = x^2 y + h(y)
Aqui, h(y) �� uma função que depende apenas de y.

Passo 8

Agora, usamos a segunda relação, v = ∂φ/∂y, para encontrar h(y). Calculamos a derivada de φ em relação a y:
partial phipartial y = x^2 + h'(y)
Igualando a v:
x^2 + h'(y) = x^2 - y^2 h'(y) = -y^2
Integrando h'(y) para encontrar h(y):
h(y) = integral -y^2 , dy = -y^33 + C
Ignoramos a constante C para simplificação.

Passo 9

Substituímos h(y) de volta na expressão de φ:
phi = x^2 y - y^33
Então, a função potencial é:
phi(x, y) = x^2 y - y^33

Resposta

A função corrente é psi(x, y) = x y^2 - dfracx^33 e a função potencial é phi(x, y) = x^2 y - dfracy^33.

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