Os componentes do vetor velocidade de um escoamento bidimensional e incompressível são dados por
calcule a função corrente e a velocidade resultante potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um escoamento bidimensional incompressível, e nos dá as componentes da velocidade
u
e v
. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a função corrente (que chamamos de ψ) e a função potencial (φ). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos e cálculo vetorial.Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função corrente ψ. Em um escoamento incompressível, a função corrente é útil porque suas derivadas nos dão as componentes da velocidade. A relação é:
Isso significa que, para encontrar ψ, precisamos integrar
u
em relação a y
e garantir que as derivadas coincidam com v
.Passo 3
Vamos começar integrando
u = 2xy
em relação a y
para encontrar ψ:Aqui,
g(x)
é uma função que depende apenas de x
e surge porque a integração em relação a y
pode incluir uma função arbitrária de x
.Passo 4
Agora, usamos a segunda relação,
v = -∂ψ/∂x
, para encontrar g(x)
. Calculamos a derivada de ψ em relação a x
:Igualando a
-v
:Agora, integramos
g'(x)
para encontrar g(x)
:Onde
C
é uma constante, que podemos ignorar para simplificação.Passo 5
Substituímos
g(x)
de volta na expressão de ψ:Então, a função corrente é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial φ. Para que a função potencial exista, o escoamento precisa ser irrotacional, ou seja, o rotacional das velocidades deve ser zero. Vamos verificar isso:
Como o rotacional é zero, podemos encontrar φ tal que:
Passo 7
Primeiro, integramos
u = 2xy
em relação a x
para encontrar φ:Aqui,
h(y)
�� uma função que depende apenas de y
.Passo 8
Agora, usamos a segunda relação,
v = ∂φ/∂y
, para encontrar h(y)
. Calculamos a derivada de φ em relação a y
:Igualando a
v
:Integrando
h'(y)
para encontrar h(y)
:Ignoramos a constante
C
para simplificação.Passo 9
Substituímos
h(y)
de volta na expressão de φ:Então, a função potencial é:
Resposta
A função corrente é
e a função potencial é
.
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A conversão de CO a CO 2 é dada por:
Esta reação atinge o equilíbrio a uma dada temperatura e as frações molares dos compostos presentes na reação são dadas pela equação: , na qual
é a constante de equilíbrio, cujo valor, para
, é 1,00. Supondo que a alimentação do reator contém 10 mol de CO e 2 mol de
e que a reação atinge o equilíbrio a 1105 K , pede-se calcular: a) A composição de equilíbrio da mistura; e b) A conversão da reação.
Esta reação atinge o equilíbrio a uma dada temperatura e as frações molares dos compostos presentes na reação são dadas pela equação:
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e
, é queimado com suprimento de ar restrito, produzindo um gás de combustão com a seguinte composição:
,
e
. Calcular: a) a quantidade de fuligem © produzida por kgmol de gás natural queimado; e (b) a quantidade de ar alimentada, expressa como uma percentagem da quantidade requerida (estequiométrica).
A função corrente de um campo de escoamento bidimensional e incompressível é
Faça um gráfico que apresenta várias linhas de corrente deste escoamento