A função de emissividade espectral de uma superfície opaca a 1.000 K é aproximada como
Determine a emissividade média da superfície e a uma taxa de emissão de radiação da superfície, .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo: temos uma função de emissividade espectral para uma superfície opaca a uma temperatura de 1.000 K, que varia de acordo com o comprimento de onda . Precisamos calcular duas coisas:
  1. A emissividade média da superfície.
  2. A taxa de emissão de radiação dessa superfície em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de radiação térmica e emissividade, além de integrar as funções fornecidas para encontrar os valores necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é emissividade média. A emissividade média ( é) é uma média ponderada da emissividade espectral ao longo de todos os comprimentos de onda, considerando como a energia é distribuída em cada faixa de . Basicamente, ela nos dá uma ideia de quão eficiente a superfície é em emitir radiação em geral.

Passo 3

Para calcular a emissividade média, usamos a seguinte fórmula:
é
Aqui, é a distribuição espectral de energia emitida por um corpo negro à temperatura , conhecida pela Lei de Planck.

Passo 4

A distribuição espectral de energia é dada por:
Onde:
  • é a constante de Planck ( ),
  • é a velocidade da luz ( ),
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura em Kelvin,
  • é o comprimento de onda.

Passo 5

Vamos dividir a integral da emissividade média nos três intervalos de fornecidos:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Isso nos permitirá calcular a emissividade média considerando cada faixa separadamente.

Passo 6

Vamos calcular a emissividade média utilizando os valores constantes de em cada intervalo:
é

Passo 7

Sabemos que a integral total é igual à lei de Stefan-Boltzmann:
Onde é a constante de Stefan-Boltzmann ( ).
Para simplificar, vamos considerar que a contribuição de cada intervalo de pode ser ponderada pela sua emissividade constante. Assim, a emissividade média pode ser aproximada pela média ponderada das emissividades nos diferentes intervalos.

Passo 8

Calculando a média ponderada das emissividades:
é

Resposta

A emissividade média da superfície é aproximadamente . Para encontrar a taxa de emissão de radiação, usamos a fórmula da lei de Stefan-Boltzmann ajustada pela emissividade média:
ãé
Substituindo os valores:
ã
Portanto, a taxa de emissão de radiação da superfície é aproximadamente .

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