A função E de Euler determina, para cada número natural n, a quantidade de números naturais menores do que n cujo máximo divisor comum com n é igual a 1. Por exemplo, E(6) = 2 pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de E(n), para n de 20 a 25?
(A) 19
(B) 20
© 22
(D) 24
(E) 25

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Função de Euler, que conta quantos números menores que um dado número $ n $ são coprimos com ele (ou seja, que têm máximo divisor comum (MDC) igual a 1 com $ n $). Nosso objetivo aqui é descobrir qual o valor máximo dessa função para os números de 20 a 25. Para resolver isso, vamos precisar calcular a Função de Euler para cada número nesse intervalo e comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a Função de Euler, denotada por $ \phi(n) $. A fórmula para calcular $ \phi(n) $ é baseada na fatoração prima de $ n $:
phi(n)
onde $ p_1, p_2, \dots, p_k $ são os fatores primos distintos de $ n $.

Passo 3

Vamos calcular $ \phi(n) $ para cada número de 20 a 25.
  • Para $ n = 20 $:
    • Fatores primos de 20: 2 e 5
    • Aplicando a fórmula: phi(n)
  • Para $ n = 21 $:
    • Fatores primos de 21: 3 e 7
    • Aplicando a fórmula: n = 20
  • Para $ n = 22 $:
    • Fatores primos de 22: 2 e 11
    • Aplicando a fórmula: phi(20) = 20 times (1 - 12) times (1 - 15) = 20 times 12 times 45 = 8
  • Para $ n = 23 $:
    • 23 é primo, então seus únicos fatores primos são ele mesmo.
    • Aplicando a fórmula: n = 21
  • Para $ n = 24 $:
    • Fatores primos de 24: 2 e 3
    • Aplicando a fórmula: phi(21) = 21 times (1 - 13) times (1 - 17) = 21 times 23 times 67 = 12
  • Para $ n = 25 $:
    • Fatores primos de 25: 5
    • Aplicando a fórmula: n = 22

Resposta

O valor máximo de $ E(n) $ para $ n $ de 20 a 25 é 22, que corresponde à alternativa ©.

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