Para a função definida por
(a) Determine os valores de e para que seja contínua em .
(b) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre funções contínuas! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de a e b para que essa função seja contínua em todos os números reais. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade. Preparado? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
  • Para x < 1, temos
  • Para 1 ≤ x < 2, a função é
  • Para x ≥ 2, temos
Queremos que essa função seja contínua em todos os pontos, especialmente nos pontos onde a definição muda, ou seja, em x = 1 e x = 2.

Passo 3

Vamos começar garantindo a continuidade em x = 1. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais a .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda ( ):
Agora, o limite pela direita ( ):
Para continuidade:

Equação 1:

Passo 4

Agora, vamos garantir a continuidade em x = 2. Novamente, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e iguais a .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda ( ) usando a parte :
Agora, o limite pela direita ( ) usando :
Primeiro, simplificamos :
Para x ≥ 2, especialmente em x = 2, temos:
Então:
Para continuidade:

Equação 2:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:

Agora, substituindo a = 3 na Equação 1:

Resposta

Os valores que garantem a continuidade de em são e .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, se existirem.
(a)
(b)
©
(d)
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Calcule os seguintes limites infinitos.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
® .
Calcule os seguintes limites.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m) .