Para a função definida por
(a) Determine os valores de e para que seja contínua em .
(b) Esboce o gráfico de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre funções contínuas! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de a e b para que essa função seja contínua em todos os números reais. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade. Preparado? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Para x < 1, temos
Para 1 ≤ x < 2, a função é
Para x ≥ 2, temos
Queremos que essa função seja contínua em todos os pontos, especialmente nos pontos onde a definição muda, ou seja, em x = 1 e x = 2.
Passo 3
Vamos começar garantindo a continuidade em x = 1. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais a .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda ():
Agora, o limite pela direita ():
Para continuidade:
Equação 1:
Passo 4
Agora, vamos garantir a continuidade em x = 2. Novamente, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e iguais a .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda () usando a parte :
Agora, o limite pela direita () usando :
Primeiro, simplificamos :
Para x ≥ 2, especialmente em x = 2, temos:
Então:
Para continuidade:
Equação 2:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Agora, substituindo a = 3 na Equação 1:
Resposta
Os valores que garantem a continuidade de em são e .