Um funcionário que trabalha no caixa de uma loja demora 3 minutos para atender um cliente e, em seguida, devido ao cansaço, ele demora um minuto a mais para atender o próximo cliente e mais um minuto no próximo cliente, assim por diante. Se ele for trabalhar durante uma hora e 15 minutos direto, então, nesse período, ele atenderá exatamente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos um funcionário de caixa que atende clientes, começando com 3 minutos por cliente. A cada novo cliente, ele demora 1 minuto a mais devido ao cansaço. Ele trabalha por 1 hora e 15 minutos (que são 75 minutos no total). Queremos descobrir quantos clientes ele consegue atender nesse período.
Esse problema envolve progressão aritmética, que é uma sequência de números com uma diferença constante entre os termos consecutivos. Vamos usar essa teoria para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quanto tempo ele leva para atender cada cliente:
  • 1º cliente: 3 minutos
  • 2º cliente: 4 minutos (3 + 1)
  • 3º cliente: 5 minutos (4 + 1)
  • E assim por diante…
Essa sequência de tempos é uma progressão aritmética onde:
  • Primeiro termo ( a1): 3 minutos
  • Razão ( r): 1 minuto

Passo 3

Queremos saber o tempo total que ele leva para atender n clientes. Para isso, usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética:
Sn = n2 times (a1 + an)
Onde:
  • Sn é a soma do tempo total
  • an é o tempo do n-ésimo cliente

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar an, o tempo que ele leva para atender o n-ésimo cliente. Usamos a fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n - 1) times r
Substituindo os valores que temos:
an = 3 + (n - 1) times 1 = 2 + n

Passo 5

Agora, substituímos an na fórmula da soma:
Sn = n2 times (3 + n + 2) = n2 times (n + 5)
Sabemos que o tempo total Sn é 75 minutos:
n2 times (n + 5) = 75
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
n times (n + 5) = 150
Expandindo:
n^2 + 5n - 150 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
n = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = 5, e c = -150:
n = -5 pm raiz25 + 6002 = -5 pm raiz6252 = -5 pm 252
As duas soluções são:
n = 202 = 10 ou n = -302 = -15
Como não faz sentido ter um número negativo de clientes, descartamos n = -15.

Resposta

Ele atenderá exatamente 10 clientes.

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