Um funcionário que trabalha no caixa de uma loja demora 3 minutos para atender um cliente e, em seguida, devido ao cansaço, ele demora um minuto a mais para atender o próximo cliente e mais um minuto no próximo cliente, assim por diante. Se ele for trabalhar durante uma hora e 15 minutos direto, então, nesse período, ele atenderá exatamente.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos um funcionário de caixa que atende clientes, começando com 3 minutos por cliente. A cada novo cliente, ele demora 1 minuto a mais devido ao cansaço. Ele trabalha por 1 hora e 15 minutos (que são 75 minutos no total). Queremos descobrir quantos clientes ele consegue atender nesse período.
Esse problema envolve progressão aritmética, que é uma sequência de números com uma diferença constante entre os termos consecutivos. Vamos usar essa teoria para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quanto tempo ele leva para atender cada cliente:
- 1º cliente: 3 minutos
- 2º cliente: 4 minutos (3 + 1)
- 3º cliente: 5 minutos (4 + 1)
- E assim por diante…
Essa sequência de tempos é uma progressão aritmética onde:
- Primeiro termo (
): 3 minutos - Razão (
): 1 minuto
Passo 3
Queremos saber o tempo total que ele leva para atender
clientes. Para isso, usamos a fórmula da soma dos
primeiros termos de uma progressão aritmética:
Onde:
-
é a soma do tempo total -
é o tempo do -ésimo cliente
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar
, o tempo que ele leva para atender o
-ésimo cliente. Usamos a fórmula do termo geral da PA:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da soma:
Sabemos que o tempo total
é 75 minutos:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Expandindo:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
As duas soluções são:
Como não faz sentido ter um número negativo de clientes, descartamos
.
Resposta
Ele atenderá exatamente 10 clientes.