Se as funções e^i(k x-omega t) e e^i(-k x-omega t) são soluções da equação de Schrödinger, mostre que a combinação linear das equações dada por Psi(x, t)=A cos (k x) e^-i omega t também é uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a combinação linear das funções e resulta em , e que essa nova função também satisfaz a equação de Schrödinger. Vamos usar conceitos de superposição de soluções e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se duas funções são soluções da equação de Schrödinger, qualquer combinação linear delas também será uma solução. Isso se deve à linearidade da equação de Schrödinger. Ou seja, se e são soluções, então também é uma solução, onde e são constantes.

Passo 3

Vamos considerar as duas soluções fornecidas:
psi1(x, t) = e^i(kx - omega t)
psi2(x, t) = e^i(-kx - omega t)
Vamos formar uma combinação linear dessas duas funções. Para simplificar, podemos somá-las e multiplicar por uma constante Psi(x, t) = A ( e^i(kx - omega t) + e^i(-kx - omega t) ) :

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula de Euler para expressar a soma de exponenciais complexas em termos de funções trigonométricas. Lembrando que:
e^itheta + e^-itheta = 2 cos(theta)
Aplicando isso à nossa combinação:
Psi(x, t) = A ( e^-iomega t e^ikx + e^-iomega t e^-ikx )
= A e^-iomega t ( e^ikx + e^-ikx )
= A e^-iomega t cdot 2 cos(kx)
= 2A cos(kx) e^-iomega t

Passo 5

Para ajustar a constante, podemos redefinir Psi(x, t) = A cos(kx) e^-iomega t como para que a expressão fique exatamente como a dada no enunciado:
Isso mostra que a combinação linear das duas soluções originais resulta na função proposta.

Resposta

A combinação linear é, de fato, uma solução da equação de Schrödinger.

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