Se as funções
e
são soluções da equação de Schrödinger, mostre que a combinação linear das equações dada por
também é uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a combinação linear das funções
e
resulta em
, e que essa nova função também satisfaz a equação de Schrödinger. Vamos usar conceitos de superposição de soluções e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se duas funções são soluções da equação de Schrödinger, qualquer combinação linear delas também será uma solução. Isso se deve à linearidade da equação de Schrödinger. Ou seja, se
e
são soluções, então
também é uma solução, onde
e
são constantes.
Passo 3
Vamos considerar as duas soluções fornecidas:
Vamos formar uma combinação linear dessas duas funções. Para simplificar, podemos somá-las e multiplicar por uma constante
:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula de Euler para expressar a soma de exponenciais complexas em termos de funções trigonométricas. Lembrando que:
Aplicando isso à nossa combinação:
Passo 5
Para ajustar a constante, podemos redefinir
como
para que a expressão fique exatamente como a dada no enunciado:
Isso mostra que a combinação linear das duas soluções originais resulta na função
proposta.
Resposta
A combinação linear
é, de fato, uma solução da equação de Schrödinger.
Exercícios relacionados
Considere a adição de 50 gramas de água a 80 graus celsius em 100 gramas de água 10 graus celsius em um calorímetro (tomar o calorímetro como ideal). O calor específico molar da água é de
. Determine a variação de entropia.
(USF/SP adaptado) Recebidas quantidades iguais de calor, 2 corpos com capacidades caloríficas distintas
a) se aquecem igualmente.
b) têm o de maior massa específica se aquecendo mais.
c) têm o de maior capacidade térmica se aquecendo menos.
d) têm o de maior capacidade térmica se aquecendo mais.
a) se aquecem igualmente.
b) têm o de maior massa específica se aquecendo mais.
c) têm o de maior capacidade térmica se aquecendo menos.
d) têm o de maior capacidade térmica se aquecendo mais.
Para uma partícula livre a solução pode ser dada por uma combinação linear de duas ondas planas se deslocando para direita e para esquerda, isto é
Mostre que
e o valor esperado para a onda se propagando para direita é do por
.
Uma corda com 9 m e densidade linear de
é fixa em suas extremidades. Se sua frequência fundamental é 20 Hz , qual a tensão na corda quanto ela vibra no terceiro harmônico? (R. 5184 N)