Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados nessa aplicação financeira. No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais condições, o número de maneiras diferentes de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um fundo de investimento que vendeu um total de 9 cotas para 5 investidores no primeiro dia. Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes essas 9 cotas podem ser distribuídas entre os 5 investidores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente o problema de distribuição de objetos idênticos em caixas distintas onde cada caixa recebe pelo menos um objeto.

Passo 2

Primeiro, entendendo que as cotas são indistinguíveis (ou seja, todas são iguais) e os investidores são distintos (cada um é único), queremos saber quantas combinações diferentes existem para distribuir as 9 cotas entre os 5 investidores, garantindo que cada um receba pelo menos uma cota.

Passo 3

Para resolver isso, usamos a fórmula de combinação com repetição, também conhecida como “combinação multiconjunto”. A fórmula para distribuir $ n $ objetos idênticos em $ k $ caixas distintas, com pelo menos um objeto em cada caixa, é:
n
Onde:
  • $ n $ é o número total de objetos (cotas),
  • $ k $ é o número de caixas (investidores).

Passo 4

Aplicando os valores do exercício:
  • $ n = 9 $ cotas,
  • $ k = 5 $ investidores.
Substituindo na fórmula:
n = 9

Resposta

Existem 70 maneiras diferentes de alocar as 9 cotas entre os 5 investidores.

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