Um gás é composto por partículas que se movem ao longo de uma linha. A distribuição inicial das partículas é centrada na origem
, e a difusão segue o modelo da equação de Fokker-Planck com
, ou seja, com um termo de arrasto. Se o coeficiente de difusão é
, e a velocidade média
, calcule: A posição média das partículas após
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema sobre como partículas de um gás se movem ao longo de uma linha. Inicialmente, todas as partículas estão concentradas na origem, ou seja, no ponto
. A movimentação dessas partículas é descrita pela equação de Fokker-Planck com um termo de arrasto, indicando que há uma direção preferencial no movimento. Você nos deu o coeficiente de difusão
e a velocidade média
. Nosso objetivo é descobrir qual será a posição média das partículas após
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a posição média de partículas evolui ao longo do tempo sob essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a equação de Fokker-Planck descreve a evolução da distribuição de probabilidade de partículas em função do tempo, considerando tanto difusão quanto drift (arrasto). No nosso caso, como há um termo de arrasto, isso significa que as partículas têm uma tendência a se moverem em uma direção específica com uma velocidade média
.
Passo 3
A posição média das partículas, denotada por
, pode ser determinada observando como essa média se comporta ao longo do tempo. Inicialmente, todas as partículas estão em
, então
.
Passo 4
Com a presença de um arrasto (velocidade média
), a posição média das partículas aumenta linearmente com o tempo. Isso significa que a taxa de mudança da posição média é igual à velocidade média:
Passo 5
Integrando essa equação diferencial em relação ao tempo, temos:
Onde
é a constante de integração. Como sabemos que
, podemos determinar que
.
Passo 6
Portanto, a posição média das partículas após um tempo
é dada por:
Resposta
Após
, a posição média das partículas é: