Em um experimento, um caminhante aleatório realiza N=20 passos, onde a probabilidade de cada passo ser para a direita é p=0,6 e para a esquerda é q=0,4. Considerando que o deslocamento total do caminhante após N passos é dado por x=m cdot l, onde m=N1-N2 é a diferença entre o número de passos para a direita N1 e o número de passos para a esquerda N2, e l=1 metro é o comprimento de cada passo, determine: O valor médio do deslocamento lang<= xrang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um caminhante que dá 20 passos, onde cada passo para a direita tem uma probabilidade de 0,6 e para a esquerda de 0,4. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor médio do deslocamento desse caminhante depois desses 20 passos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial e esperança matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o deslocamento total. O deslocamento $ x $ é dado por:
x
onde:
  • $ m = N_1 - N_2 $ é a diferença entre o número de passos para a direita ($ N_1 x = m cdot l N_2 $),
  • $ l = 1 $ metro é o comprimento de cada passo.

Passo 3

Como o caminhante dá 20 passos no total, temos que:
N1 + N2 = 20
Podemos rearranjar isso para encontrar $ N_2 $:
N2
Substituindo na expressão de $ m $:
N2 = 20 - N1

Passo 4

Agora, queremos encontrar o valor médio do deslocamento, que é a expectativa de $ x $:
x
Como $ l = 1 $, temos:
lang<= x rang<= = lang<= m cdot l rang<= = l cdot lang<= m rang<=
Então, precisamos calcular $ \langle m \rangle $:
l = 1

Passo 5

Para encontrar $ \langle N_1 \rangle $, usamos a propriedade da esperança matemática para uma distribuição binomial. Sabemos que:
lang<= N1 rang<=
onde $ N = 20 $ e $ p = 0,6 $:
lang<= N1 rang<= = N cdot p

Passo 6

Substituindo $ \langle N_1 \rangle $ na expressão de $ \langle m \rangle $:
lang<= N1 rang<=

Passo 7

Finalmente, como $ \langle x \rangle = \langle m \rangle $ e $ l = 1 $ metro, temos que o valor médio do deslocamento é 4 metros.

Resposta

O valor médio do deslocamento é 4 metros.

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