Em um experimento, um caminhante aleatório realiza
passos, onde a probabilidade de cada passo ser para a direita é
e para a esquerda é
. Considerando que o deslocamento total do caminhante após
passos é dado por
, onde
é a diferença entre o número de passos para a direita
e o número de passos para a esquerda
, e
metro é o comprimento de cada passo, determine: O valor médio do deslocamento
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um caminhante que dá 20 passos, onde cada passo para a direita tem uma probabilidade de 0,6 e para a esquerda de 0,4. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor médio do deslocamento desse caminhante depois desses 20 passos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial e esperança matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o deslocamento total. O deslocamento $ x $ é dado por:
onde:
- $ m = N_1 - N_2 $ é a diferença entre o número de passos para a direita ($ N_1
N_2 $), - $ l = 1 $ metro é o comprimento de cada passo.
Passo 3
Como o caminhante dá 20 passos no total, temos que:
Podemos rearranjar isso para encontrar $ N_2 $:
Substituindo na expressão de $ m $:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o valor médio do deslocamento, que é a expectativa de $ x $:
Como $ l = 1 $, temos:
Então, precisamos calcular $ \langle m \rangle $:
Passo 5
Para encontrar $ \langle N_1 \rangle $, usamos a propriedade da esperança matemática para uma distribuição binomial. Sabemos que:
onde $ N = 20 $ e $ p = 0,6 $:
Passo 6
Substituindo $ \langle N_1 \rangle $ na expressão de $ \langle m \rangle $:
Passo 7
Finalmente, como $ \langle x \rangle = \langle m \rangle $ e $ l = 1 $ metro, temos que o valor médio do deslocamento é 4 metros.
Resposta
O valor médio do deslocamento é 4 metros.