Gás escoa através de um furo em uma tubulação. A vazão deve ser expressa em termos das variáveis importantes do problema, quais sejam, a diferença de pressões, a viscosidade cinemática nu, a den-
sidade rho e o raio do furo, r. Mostre que
Qr^2 raizDe

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás escoando através de um furo numa tubulação, e queremos expressar a vazão Qr^2 raizDe em termos das variáveis importantes: diferença de pressões ( ), viscosidade cinemática ( ), densidade ( ) e o raio do furo ( ). O objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a verificar a consistência das equações e a relacionar diferentes grandezas físicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável envolvida:
  • Vazão tem dimensão de volume por tempo:
  • Raio tem dimensão de comprimento:
  • Diferença de pressão tem dimensão de força por área:
  • Densidade tem dimensão de massa por volume:
  • Viscosidade cinemática tem dimensão de área por tempo:

Passo 3

Agora, vamos montar uma combinação das variáveis que resulte na dimensão da vazão Q = k cdot r^a cdot (De:
Assumimos que é função de , , e :
Onde é uma constante adimensional e , , , são expoentes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos igualar as dimensões dos dois lados da equação:
Dimensão de [L^3T^-1] = [L^a] cdot [ML^-1T^-2]^b cdot [ML^-3]^c cdot [L^2T^-1]^d :
L^3T^-1 = L^a cdot M^bL^-bT^-2b cdot M^cL^-3c cdot L^2dT^-d
Simplificando:
L^3T^-1 = M^b+c cdot L^a - b - 3c + 2d cdot T^-2b - d
Agrupando os termos:

Passo 5

Agora, igualamos os expoentes das dimensões de cada lado:
Para b + c = 0 Rightarrow c = -b :
a - b - 3c + 2d = 3
Para a - b - 3(-b) + 2d = a + 2b + 2d = 3 :
-2b - d = -1 Rightarrow 2b + d = 1
Substituindo :
Para :

Passo 6

Temos agora um sistema de equações:
  1. d = 1 - 2b
  2. a + 2b + 2(1 - 2b) = 3 a + 2b + 2 - 4b = 3 a - 2b = 1 Rightarrow a = 2b + 1
Vamos resolver esse sistema. Da equação 3:
Substituindo na equação 2:

Passo 7

Agora, temos:
Como ainda temos uma variável livre, podemos escolher para simplificar.
Então:

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão de Q = k cdot r^1 cdot (De:
Q propto r cdot nu
Isso sugere que:

Passo 9

No entanto, queremos expressar Qr^2 raizDe em termos de . Para isso, reconsideramos a relação original e utilizamos uma função adimensional.
Dividindo ambos os lados por :
Isso mostra que a expressão é uma função adimensional da combinação das variáveis dadas.

Resposta

Mostramos que a vazão Qr^2 raizDe dividida por é uma função da combinação adimensional . Portanto,

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