Gás escoa através de um furo em uma tubulação. A vazão deve ser expressa em termos das variáveis importantes do problema, quais sejam, a diferença de pressões, a viscosidade cinemática
, a den-
sidade
e o raio do furo,
. Mostre que
sidade
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás escoando através de um furo numa tubulação, e queremos expressar a vazão
em termos das variáveis importantes: diferença de pressões (
), viscosidade cinemática (
), densidade (
) e o raio do furo (
). O objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a verificar a consistência das equações e a relacionar diferentes grandezas físicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável envolvida:
- Vazão
tem dimensão de volume por tempo: - Raio
tem dimensão de comprimento: - Diferença de pressão
tem dimensão de força por área: - Densidade
tem dimensão de massa por volume: - Viscosidade cinemática
tem dimensão de área por tempo:
Passo 3
Agora, vamos montar uma combinação das variáveis que resulte na dimensão da vazão
:
Assumimos que
é função de
,
,
e
:
Onde
é uma constante adimensional e
,
,
,
são expoentes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos igualar as dimensões dos dois lados da equação:
Dimensão de
:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Passo 5
Agora, igualamos os expoentes das dimensões de cada lado:
Para
:
Para
:
Substituindo
:
Para
:
Passo 6
Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação 3:
Substituindo
na equação 2:
Passo 7
Agora, temos:
Como ainda temos uma variável
livre, podemos escolher
para simplificar.
Então:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão de
:
Isso sugere que:
Passo 9
No entanto, queremos expressar
em termos de
. Para isso, reconsideramos a relação original e utilizamos uma função adimensional.
Dividindo ambos os lados por
:
Isso mostra que a expressão é uma função adimensional da combinação das variáveis dadas.
Resposta
Mostramos que a vazão
dividida por
é uma função da combinação adimensional
. Portanto,