Gás escoa através de um furo em uma tubulação. A vazão deve ser expressa em termos das variáveis importantes do problema, quais sejam, a diferença de pressões, a viscosidade cinemática , a den-
sidade e o raio do furo, . Mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás escoando através de um furo numa tubulação, e queremos expressar a vazão em termos das variáveis importantes: diferença de pressões ( ), viscosidade cinemática ( ), densidade ( ) e o raio do furo ( ). O objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a verificar a consistência das equações e a relacionar diferentes grandezas físicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável envolvida:
  • Vazão tem dimensão de volume por tempo:
  • Raio tem dimensão de comprimento:
  • Diferença de pressão tem dimensão de força por área:
  • Densidade tem dimensão de massa por volume:
  • Viscosidade cinemática tem dimensão de área por tempo:

Passo 3

Agora, vamos montar uma combinação das variáveis que resulte na dimensão da vazão :
Assumimos que é função de , , e :
Onde é uma constante adimensional e , , , são expoentes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos igualar as dimensões dos dois lados da equação:
Dimensão de :
Simplificando:
Agrupando os termos:

Passo 5

Agora, igualamos os expoentes das dimensões de cada lado:
Para :
Para :
Substituindo :
Para :

Passo 6

Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação 3:
Substituindo na equação 2:

Passo 7

Agora, temos:
Como ainda temos uma variável livre, podemos escolher para simplificar.
Então:

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão de :
Isso sugere que:

Passo 9

No entanto, queremos expressar em termos de . Para isso, reconsideramos a relação original e utilizamos uma função adimensional.
Dividindo ambos os lados por :
Isso mostra que a expressão é uma função adimensional da combinação das variáveis dadas.

Resposta

Mostramos que a vazão dividida por é uma função da combinação adimensional . Portanto,

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