O Governo Federal fez uma pesquisa numa comunidade desfavorecida no interior do Brasil e identificou a ocorrência de doenças causadas pela deficiência de vitaminas A e C, cálcio e ferro. Segundo a literatura, a falta de vitaminas A provoca problemas de visão e reduz as defesas do corpo contra infecções, enquanto que a falta de vitamina C provoca inflamações gengivais e perda de dentes. Carência de cálcio tem sido relacionada com ocorrência de espasmos musculares e tendência à osteoporose. Por fim, a falta de ferro provoca anemia, comprometimento da capacidade de aprendizado e diminuição do rendimento no trabalho.
Como política pública, o governo subsidia a venda de alimentos como arroz, feijão, carne bovina, e açúcar, assim como alfaces e laranjas. Sabe-se que estes alimentos subsidiados possuem os nutrientes que faltam no cardápio das pessoas desta comunidade, e possuem informações nutricionais e de custo dados na tabela abaixo, onde os valores referem-se à composição por 100 g de parte comestivel:
Item Unid. Neces./Dia Carne Arroz Feijão Açúcar Alface Laranja
Valor Energético cal 3200 225 364 337 385 15 42
Vitamina A 750 7 - 2 87 13
Vitamina C 70 - - 3 - 12 59
Ferro 10 2.9 1.3 7.6 0.1 1.3 0.7
Cálcio 650 11 9 86 - 43 34
Preço 0.50 0.18 0.20 0.16 0.30 0.10
Para o Governo, é importante que as pessoas tenham uma dieta equilibrada, isto é, que atendam aos valores mínimos por nutrientes; porém essa dieta tem que ter o menor custo possivel.
(a) Com base nisso, construa um modelo de programação linear que decida qual deveria ser a dieta diária de uma pessoa, em centenas de gramas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o governo quer garantir que as pessoas dessa comunidade tenham uma dieta equilibrada, ou seja, que consumam pelo menos a quantidade mínima necessária de certos nutrientes, mas gastando o mínimo possível. A matéria que vamos usar aqui é Programação Linear, que ajuda a otimizar (neste caso, minimizar custos) sob certas restrições (as necessidades de nutrientes). Vamos precisar definir as variáveis que representam as quantidades de cada alimento que a pessoa vai consumir diariamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Como queremos saber a quantidade de cada alimento em centenas de gramas, vamos chamar:
  • : Carne bovina (em centenas de gramas)
  • : Arroz (em centenas de gramas)
  • : Feijão (em centenas de gramas)
  • : Açúcar (em centenas de gramas)
  • : Alface (em centenas de gramas)
  • : Laranja (em centenas de gramas)

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar o custo total da dieta. O custo de cada alimento por 100g está dado, então o custo total será:

Passo 4

Agora, precisamos garantir que a dieta atenda ou supere as necessidades mínimas de cada nutriente. Vamos transformar as necessidades diárias para a mesma unidade das tabelas (por 100g):
  • Vitamina A:
  • Vitamina C:
  • Ferro:
  • Cálcio:
Vamos montar as desigualdades para cada nutriente:
Vitamina A:
Vitamina C:
Ferro:
Cálcio:

Passo 5

Além das restrições de nutrientes, não podemos consumir uma quantidade negativa de alimentos. Portanto, adicionamos:

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos o modelo de Programação Linear:
Minimizar:
Sujeito a:
á

Resposta

Pronto! Esse é o modelo de Programação Linear que o governo pode usar para determinar a dieta diária mínima em custo, garantindo que todas as necessidades nutricionais sejam atendidas.

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A Óleos Unidos SA é uma empresa do ramo de derivados de petróleo que manufatura três combustíveis especiais com base em uma mistura de dois insumos: um extrato mineral e um solvente. No processo de produção não existe perda de material, de forma que a quantidade de litros de extrato mineral somados à quantidade de litros de solvente utilizada na fabricação de um tipo de combustível resulta no total de litros daquele combustível fabricado. A proporção da mistura está descrita na tabela a seguir:
Combustivel Combustível Combustível
Extrato Mineral 8 litros 5 litros 4 litros
Solvente 5 litros 4 litros 2 litros
Suponha que a Óleos Unidos SA tenha disponivel diariamente 120 litros de extrato mineral e 200 litros de solvente. Por uma característica técnica, o solvente evapora com muita facilidade e, para viabilizar os custos da empresa, pelo menos de seu estoque deve ser utilizado no mesmo dia. Os lucros líquidos esperados pelos três combustiveis são de e , respectivamente. Dê uma solução que maximize o lucro da Óleos Unidos SA.
Um trem tem dois compartimentos de carga: um dianteiro e um traseiro. O compartimento de carga dianteiro tem uma capacidade de peso de 75.000 kg , e uma capacidade de volume de . O compartimento traseiro tem uma capacidade de peso de 80.000 kg , e uma capacidade de volume de . A empresa dona do trem foi contratada para levar cargas de arroz e feijão empacotados. O peso total da carga de arroz disponivel é de 85.000 kg; o peso total da carga de feijão disponivel é de 100.000 kg . O volume por massa de arroz é de por quilo, e o volume da massa de feijão é de por quilo. Por uma questão técnica, o compartimento traseiro deve ter uma carga (em peso) no mínimo superior ao dianteiro. O lucro para transportar arroz é de por quilo, e o lucro para transportar feijão é de por quilo. A empresa dona do trem é livre para aceitar toda ou parte da carga disponivel. Ela quer saber quantos quilos de arroz e de feijão deve transportar para maximizar o lucro.
Uma pequena fábrica de papel-toalha manufatura três tipos de produtos: A, e C. A fábrica recebe papel em grandes rolos. É cortado, dobrado e empacotado. Dado a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção à um preço constante. O lucro unitário de cada produto é, respectivamente, e . O quadro a seguir identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis.
Seção Prod. Prod. Prod. Qtdade Máquinas
Corte 8 5 2 3
Dobra 5 10 4 10
Empacotamento 0,7 1 2 2
Pergunta-se:
(a) Qual é o esquema ótimo de produção semanal (40 horas)?
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