O Governo Federal fez uma pesquisa numa comunidade desfavorecida no interior do Brasil e identificou a ocorrência de doenças causadas pela deficiência de vitaminas A e C, cálcio e ferro. Segundo a literatura, a falta de vitaminas A provoca problemas de visão e reduz as defesas do corpo contra infecções, enquanto que a falta de vitamina C provoca inflamações gengivais e perda de dentes. Carência de cálcio tem sido relacionada com ocorrência de espasmos musculares e tendência à osteoporose. Por fim, a falta de ferro provoca anemia, comprometimento da capacidade de aprendizado e diminuição do rendimento no trabalho.
Como política pública, o governo subsidia a venda de alimentos como arroz, feijão, carne bovina, e açúcar, assim como alfaces e laranjas. Sabe-se que estes alimentos subsidiados possuem os nutrientes que faltam no cardápio das pessoas desta comunidade, e possuem informações nutricionais e de custo dados na tabela abaixo, onde os valores referem-se à composição por 100 g de parte comestivel:
Item
Unid.
Neces./Dia
Carne
Arroz
Feijão
Açúcar
Alface
Laranja
Valor Energético
cal
3200
225
364
337
385
15
42
Vitamina A
750
7
-
2
87
13
Vitamina C
70
-
-
3
-
12
59
Ferro
10
2.9
1.3
7.6
0.1
1.3
0.7
Cálcio
650
11
9
86
-
43
34
Preço
0.50
0.18
0.20
0.16
0.30
0.10
Para o Governo, é importante que as pessoas tenham uma dieta equilibrada, isto é, que atendam aos valores mínimos por nutrientes; porém essa dieta tem que ter o menor custo possivel.
(a) Com base nisso, construa um modelo de programação linear que decida qual deveria ser a dieta diária de uma pessoa, em centenas de gramas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o governo quer garantir que as pessoas dessa comunidade tenham uma dieta equilibrada, ou seja, que consumam pelo menos a quantidade mínima necessária de certos nutrientes, mas gastando o mínimo possível. A matéria que vamos usar aqui é Programação Linear, que ajuda a otimizar (neste caso, minimizar custos) sob certas restrições (as necessidades de nutrientes). Vamos precisar definir as variáveis que representam as quantidades de cada alimento que a pessoa vai consumir diariamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Como queremos saber a quantidade de cada alimento em centenas de gramas, vamos chamar:
: Carne bovina (em centenas de gramas)
: Arroz (em centenas de gramas)
: Feijão (em centenas de gramas)
: Açúcar (em centenas de gramas)
: Alface (em centenas de gramas)
: Laranja (em centenas de gramas)
Passo 3
Nosso objetivo é minimizar o custo total da dieta. O custo de cada alimento por 100g está dado, então o custo total será:
Passo 4
Agora, precisamos garantir que a dieta atenda ou supere as necessidades mínimas de cada nutriente. Vamos transformar as necessidades diárias para a mesma unidade das tabelas (por 100g):
Vitamina A:
Vitamina C:
Ferro:
Cálcio:
Vamos montar as desigualdades para cada nutriente:
Vitamina A:
Vitamina C:
Ferro:
Cálcio:
Passo 5
Além das restrições de nutrientes, não podemos consumir uma quantidade negativa de alimentos. Portanto, adicionamos:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos o modelo de Programação Linear:
Minimizar:
Sujeito a:
Resposta
Pronto! Esse é o modelo de Programação Linear que o governo pode usar para determinar a dieta diária mínima em custo, garantindo que todas as necessidades nutricionais sejam atendidas.