O Governo Federal fez uma pesquisa numa comunidade desfavorecida no interior do Brasil e identificou a ocorrência de doenças causadas pela deficiência de vitaminas A e C, cálcio e ferro. Segundo a literatura, a falta de vitaminas A provoca problemas de visão e reduz as defesas do corpo contra infecções, enquanto que a falta de vitamina C provoca inflamações gengivais e perda de dentes. Carência de cálcio tem sido relacionada com ocorrência de espasmos musculares e tendência à osteoporose. Por fim, a falta de ferro provoca anemia, comprometimento da capacidade de aprendizado e diminuição do rendimento no trabalho.
Como política pública, o governo subsidia a venda de alimentos como arroz, feijão, carne bovina, e açúcar, assim como alfaces e laranjas. Sabe-se que estes alimentos subsidiados possuem os nutrientes que faltam no cardápio das pessoas desta comunidade, e possuem informações nutricionais e de custo dados na tabela abaixo, onde os valores referem-se à composição por 100 g de parte comestivel:
Item Unid. Neces./Dia Carne Arroz Feijão Açúcar Alface Laranja
Valor Energético cal 3200 225 364 337 385 15 42
Vitamina A m c g 750 7 - 2 87 13
Vitamina C m g 70 - - 3 - 12 59
Ferro m g 10 2.9 1.3 7.6 0.1 1.3 0.7
Cálcio m g 650 11 9 86 - 43 34
Preço R 0.50 0.18 0.20 0.16 0.30 0.10
Para o Governo, é importante que as pessoas tenham uma dieta equilibrada, isto é, que atendam aos valores mínimos por nutrientes; porém essa dieta tem que ter o menor custo possivel.
(a) Com base nisso, construa um modelo de programação linear que decida qual deveria ser a dieta diária de uma pessoa, em centenas de gramas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o governo quer garantir que as pessoas dessa comunidade tenham uma dieta equilibrada, ou seja, que consumam pelo menos a quantidade mínima necessária de certos nutrientes, mas gastando o mínimo possível. A matéria que vamos usar aqui é Programação Linear, que ajuda a otimizar (neste caso, minimizar custos) sob certas restrições (as necessidades de nutrientes). Vamos precisar definir as variáveis que representam as quantidades de cada alimento que a pessoa vai consumir diariamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Como queremos saber a quantidade de cada alimento em centenas de gramas, vamos chamar:
  • : Carne bovina (em centenas de gramas)
  • : Arroz (em centenas de gramas)
  • : Feijão (em centenas de gramas)
  • : Açúcar (em centenas de gramas)
  • : Alface (em centenas de gramas)
  • : Laranja (em centenas de gramas)

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar o custo total da dieta. O custo de cada alimento por 100g está dado, então o custo total C = 0.50x1 + 0.18x2 + 0.20x3 + 0.16x4 + 0.30x5 + 0.10x6 será:

Passo 4

Agora, precisamos garantir que a dieta atenda ou supere as necessidades mínimas de cada nutriente. Vamos transformar as necessidades diárias para a mesma unidade das tabelas (por 100g):
  • Vitamina A: 7x1 + 0x2 + 2x3 + 87x4 + 13x5 + 0x6 >= 750
  • Vitamina C: 0x1 + 0x2 + 3x3 + 0x4 + 12x5 + 59x6 >= 70
  • Ferro: 2.9x1 + 1.3x2 + 7.6x3 + 0.1x4 + 1.3x5 + 0.7x6 >= 10
  • Cálcio: 11x1 + 9x2 + 86x3 + 0x4 + 43x5 + 34x6 >= 650
Vamos montar as desigualdades para cada nutriente:
Vitamina A:
Vitamina C:
Ferro:
Cálcio:

Passo 5

Além das restrições de nutrientes, não podemos consumir uma quantidade negativa de alimentos. Portanto, adicionamos:
x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos o modelo de Programação Linear:
Minimizar:
C = 0.50x1 + 0.18x2 + 0.20x3 + 0.16x4 + 0.30x5 + 0.10x6
Sujeito a:
7x1 + 0x2 + 2x3 + 87x4 + 13x5 + 0x6 >= 750 (Vitamina A) 0x1 + 0x2 + 3x3 + 0x4 + 12x5 + 59x6 >= 70 (Vitamina C) 2.9x1 + 1.3x2 + 7.6x3 + 0.1x4 + 1.3x5 + 0.7x6 >= 10 (Ferro) 11x1 + 9x2 + 86x3 + 0x4 + 43x5 + 34x6 >= 650 (Cálcio) x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0 á

Resposta

Pronto! Esse é o modelo de Programação Linear que o governo pode usar para determinar a dieta diária mínima em custo, garantindo que todas as necessidades nutricionais sejam atendidas.

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