O Governo Federal fez uma pesquisa numa comunidade desfavorecida no interior do Brasil e identificou a ocorrência de doenças causadas pela deficiência de vitaminas A e C, cálcio e ferro. Segundo a literatura, a falta de vitaminas A provoca problemas de visão e reduz as defesas do corpo contra infecções, enquanto que a falta de vitamina C provoca inflamações gengivais e perda de dentes. Carência de cálcio tem sido relacionada com ocorrência de espasmos musculares e tendência à osteoporose. Por fim, a falta de ferro provoca anemia, comprometimento da capacidade de aprendizado e diminuição do rendimento no trabalho.
Como política pública, o governo subsidia a venda de alimentos como arroz, feijão, carne bovina, e açúcar, assim como alfaces e laranjas. Sabe-se que estes alimentos subsidiados possuem os nutrientes que faltam no cardápio das pessoas desta comunidade, e possuem informações nutricionais e de custo dados na tabela abaixo, onde os valores referem-se à composição por 100 g de parte comestivel:
Como política pública, o governo subsidia a venda de alimentos como arroz, feijão, carne bovina, e açúcar, assim como alfaces e laranjas. Sabe-se que estes alimentos subsidiados possuem os nutrientes que faltam no cardápio das pessoas desta comunidade, e possuem informações nutricionais e de custo dados na tabela abaixo, onde os valores referem-se à composição por 100 g de parte comestivel:
Item | Unid. | Neces./Dia | Carne | Arroz | Feijão | Açúcar | Alface | Laranja |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Valor Energético | cal | 3200 | 225 | 364 | 337 | 385 | 15 | 42 |
Vitamina A |
|
750 | 7 | - | 2 | 87 | 13 | |
Vitamina C |
|
70 | - | - | 3 | - | 12 | 59 |
Ferro |
|
10 | 2.9 | 1.3 | 7.6 | 0.1 | 1.3 | 0.7 |
Cálcio |
|
650 | 11 | 9 | 86 | - | 43 | 34 |
Preço |
|
0.50 | 0.18 | 0.20 | 0.16 | 0.30 | 0.10 |
Para o Governo, é importante que as pessoas tenham uma dieta equilibrada, isto é, que atendam aos valores mínimos por nutrientes; porém essa dieta tem que ter o menor custo possivel.
(a) Com base nisso, construa um modelo de programação linear que decida qual deveria ser a dieta diária de uma pessoa, em centenas de gramas.
(a) Com base nisso, construa um modelo de programação linear que decida qual deveria ser a dieta diária de uma pessoa, em centenas de gramas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como o governo quer garantir que as pessoas dessa comunidade tenham uma dieta equilibrada, ou seja, que consumam pelo menos a quantidade mínima necessária de certos nutrientes, mas gastando o mínimo possível. A matéria que vamos usar aqui é Programação Linear, que ajuda a otimizar (neste caso, minimizar custos) sob certas restrições (as necessidades de nutrientes). Vamos precisar definir as variáveis que representam as quantidades de cada alimento que a pessoa vai consumir diariamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Como queremos saber a quantidade de cada alimento em centenas de gramas, vamos chamar:
-
: Carne bovina (em centenas de gramas) -
: Arroz (em centenas de gramas) -
: Feijão (em centenas de gramas) -
: Açúcar (em centenas de gramas) -
: Alface (em centenas de gramas) -
: Laranja (em centenas de gramas)
Passo 3
Nosso objetivo é minimizar o custo total da dieta. O custo de cada alimento por 100g está dado, então o custo total
será:
Passo 4
Agora, precisamos garantir que a dieta atenda ou supere as necessidades mínimas de cada nutriente. Vamos transformar as necessidades diárias para a mesma unidade das tabelas (por 100g):
- Vitamina A:
- Vitamina C:
- Ferro:
- Cálcio:
Vamos montar as desigualdades para cada nutriente:
Vitamina A:
Vitamina C:
Ferro:
Cálcio:
Passo 5
Além das restrições de nutrientes, não podemos consumir uma quantidade negativa de alimentos. Portanto, adicionamos:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos o modelo de Programação Linear:
Minimizar:
Sujeito a:
Resposta
Pronto! Esse é o modelo de Programação Linear que o governo pode usar para determinar a dieta diária mínima em custo, garantindo que todas as necessidades nutricionais sejam atendidas.