Uma pequena fábrica de papel-toalha manufatura três tipos de produtos: A,
e C. A fábrica recebe papel em grandes rolos. É cortado, dobrado e empacotado. Dado a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção à um preço constante. O lucro unitário de cada produto é, respectivamente,
e
. O quadro a seguir identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis.
Seção | Prod.
|
Prod.
|
Prod.
|
Qtdade Máquinas |
---|---|---|---|---|
Corte | 8 | 5 | 2 | 3 |
Dobra | 5 | 10 | 4 | 10 |
Empacotamento | 0,7 | 1 | 2 | 2 |
Pergunta-se:
(a) Qual é o esquema ótimo de produção semanal (40 horas)?
(a) Qual é o esquema ótimo de produção semanal (40 horas)?
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem um exercício sobre uma fábrica de papel-toalha que produz três tipos de produtos: A, B e C. Cada produto traz um lucro diferente e a fábrica tem um tempo limitado de produção em três seções: Corte, Dobra e Empacotamento, com um número específico de máquinas disponíveis. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a melhor combinação de produção desses três produtos para maximizar o lucro semanal, considerando que a fábrica trabalha 40 horas por semana. Para resolver isso, vamos usar Programação Linear, uma técnica matemática que ajuda a otimizar resultados sob certas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos otimizar e quais são as nossas restrições. Queremos maximizar o lucro da fábrica produzindo os produtos A, B e C. Cada produto tem um lucro unitário diferente:
- Produto A: R$ 1,00
- Produto B: R$ 1,50
- Produto C: R$ 2,00
Agora, precisamos considerar as limitações de tempo e máquinas disponíveis em cada seção da fábrica:
- Corte:
- Tempo por unidade: A = 8 horas, B = 5 horas, C = 2 horas
- Máquinas disponíveis: 3
- Dobra:
- Tempo por unidade: A = 5 horas, B = 10 horas, C = 4 horas
- Máquinas disponíveis: 10
- Empacotamento:
- Tempo por unidade: A = 0,7 horas, B = 1 hora, C = 2 horas
- Máquinas disponíveis: 2
Vamos traduzir isso em termos matemáticos usando a Programação Linear.
Passo 3
Vamos definir nossas variáveis de decisão:
-
: quantidade de produto A a ser produzida por semana -
: quantidade de produto B a ser produzida por semana -
: quantidade de produto C a ser produzida por semana
Nosso objetivo é maximizar o lucro total. A função lucro pode ser escrita como:
Este é o que queremos maximizar.
Passo 4
Agora, vamos estabelecer as restrições baseadas no tempo e no número de máquinas disponíveis.
Cada seção tem um tempo total disponível por semana, que é o número de máquinas vezes as horas trabalhadas (40 horas):
- Corte:
horas - Dobra:
horas - Empacotamento:
horas
As restrições de tempo para cada seção serão:
- Corte:
- Dobra:
- Empacotamento:
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de produtos:
Passo 5
Resumindo, nosso problema de programação linear fica assim:
Maximizar:
Sujeito a:
Passo 6
Para resolver esse sistema, podemos usar métodos gráficos (se fosse com duas variáveis) ou utilizar ferramentas como o Excel, Solver, ou softwares específicos de Programação Linear. Mas, para simplificar, vamos resolver manualmente buscando as combinações que atendem a todas as restrições e calcular qual dessas combinações dá o maior lucro.
Passo 7
Vamos analisar algumas possíveis combinações:
Opção 1: Produzir apenas o produto C
- Corte:
→80 ) **Opção 2**: Produzir apenas o produto B - Corte: ( 5xB <= 120 ) → ( xB <= 24 ) - Dobra: ( 10xB <= 400 ) → ( xB <= 40 ) - Empacotamento: ( xB <= 80 ) - Portanto, ( xB = 24 ) - Lucro: ( 1,5 times 24 = R - Dobra:
→ - Empacotamento:
→ - Portanto,
- Lucro:
Opção 2: Produzir apenas o produto B
- Corte:
→ - Dobra:
→ - Empacotamento:
- Portanto,
- Lucro:
Opção 3: Produzir apenas o produto A
- Corte:
→ - Dobra:
→ - Empacotamento:
�� - Portanto,
- Lucro:
Passo 8
Observamos que a Opção 1 (produzir apenas o produto C) gera o maior lucro entre as opções analisadas. Agora, vamos verificar se produzir uma combinação de produtos pode gerar um lucro ainda maior.
Por exemplo, vamos tentar produzir 20 unidades de C e ver quanto podemos produzir de A ou B:
- Para C = 20:
- Corte usado:
horas → Restam40 ) - Lucro com A: ( 1 times 10 = R horas50** Isso é maior que a Opção 1 (R - Dobra usada:
horas → Restam80, que já é maior do que a combinação C = 20 e A = 10, que dá R horas - Empacotamento usado:
horas → Restam horas
- Corte usado:
Agora, vamos tentar adicionar o produto A com base nas horas restantes:
- Corte para A:
→ - Dobra para A:
→ - Empacotamento para A:
→ - Portanto, podemos produzir até 10 unidades de A
- Verificando todas as restrições,
é viável
Agora, calculamos o lucro:
- Lucro com C:
- Lucro com A:
- Total: R$ 50
Isso é maior que a Opção 1 (R$ 80)? Não, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer.
Na verdade, a Opção 1 com C = 40 gera um lucro de R$ 80, que já é maior do que a combinação C = 20 e A = 10, que dá R$ 50. Portanto, a melhor opção continua sendo produzir apenas o produto C.
Resposta
O esquema ótimo de produção semanal é produzir 40 unidades do produto C, resultando em um lucro total de R$ 80,00.