Uma pequena fábrica de papel-toalha manufatura três tipos de produtos: A, e C. A fábrica recebe papel em grandes rolos. É cortado, dobrado e empacotado. Dado a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção à um preço constante. O lucro unitário de cada produto é, respectivamente, e . O quadro a seguir identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis.
Seção
Prod.
Prod.
Prod.
Qtdade Máquinas
Corte
8
5
2
3
Dobra
5
10
4
10
Empacotamento
0,7
1
2
2
Pergunta-se:
(a) Qual é o esquema ótimo de produção semanal (40 horas)?
Passo 1
Então, vamos lá! Você tem um exercício sobre uma fábrica de papel-toalha que produz três tipos de produtos: A, B e C. Cada produto traz um lucro diferente e a fábrica tem um tempo limitado de produção em três seções: Corte, Dobra e Empacotamento, com um número específico de máquinas disponíveis. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a melhor combinação de produção desses três produtos para maximizar o lucro semanal, considerando que a fábrica trabalha 40 horas por semana. Para resolver isso, vamos usar Programação Linear, uma técnica matemática que ajuda a otimizar resultados sob certas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos otimizar e quais são as nossas restrições. Queremos maximizar o lucro da fábrica produzindo os produtos A, B e C. Cada produto tem um lucro unitário diferente:
Produto A: R$ 1,00
Produto B: R$ 1,50
Produto C: R$ 2,00
Agora, precisamos considerar as limitações de tempo e máquinas disponíveis em cada seção da fábrica:
Corte:
Tempo por unidade: A = 8 horas, B = 5 horas, C = 2 horas
Máquinas disponíveis: 3
Dobra:
Tempo por unidade: A = 5 horas, B = 10 horas, C = 4 horas
Máquinas disponíveis: 10
Empacotamento:
Tempo por unidade: A = 0,7 horas, B = 1 hora, C = 2 horas
Máquinas disponíveis: 2
Vamos traduzir isso em termos matemáticos usando a Programação Linear.
Passo 3
Vamos definir nossas variáveis de decisão:
: quantidade de produto A a ser produzida por semana
: quantidade de produto B a ser produzida por semana
: quantidade de produto C a ser produzida por semana
Nosso objetivo é maximizar o lucro total. A função lucro pode ser escrita como:
Este é o que queremos maximizar.
Passo 4
Agora, vamos estabelecer as restrições baseadas no tempo e no número de máquinas disponíveis.
Cada seção tem um tempo total disponível por semana, que é o número de máquinas vezes as horas trabalhadas (40 horas):
Corte: horas
Dobra: horas
Empacotamento: horas
As restrições de tempo para cada seção serão:
Corte:
Dobra:
Empacotamento:
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de produtos:
Passo 5
Resumindo, nosso problema de programação linear fica assim:
Maximizar:
Sujeito a:
Passo 6
Para resolver esse sistema, podemos usar métodos gráficos (se fosse com duas variáveis) ou utilizar ferramentas como o Excel, Solver, ou softwares específicos de Programação Linear. Mas, para simplificar, vamos resolver manualmente buscando as combinações que atendem a todas as restrições e calcular qual dessas combinações dá o maior lucro.
Passo 7
Vamos analisar algumas possíveis combinações:
Opção 1: Produzir apenas o produto C
Corte: →
Dobra: →
Empacotamento: →
Portanto,
Lucro:
Opção 2: Produzir apenas o produto B
Corte: →
Dobra: →
Empacotamento:
Portanto,
Lucro:
Opção 3: Produzir apenas o produto A
Corte: →
Dobra: →
Empacotamento: ��
Portanto,
Lucro:
Passo 8
Observamos que a Opção 1 (produzir apenas o produto C) gera o maior lucro entre as opções analisadas. Agora, vamos verificar se produzir uma combinação de produtos pode gerar um lucro ainda maior.
Por exemplo, vamos tentar produzir 20 unidades de C e ver quanto podemos produzir de A ou B:
Para C = 20:
Corte usado: horas → Restam horas
Dobra usada: horas → Restam horas
Empacotamento usado: horas → Restam horas
Agora, vamos tentar adicionar o produto A com base nas horas restantes:
Corte para A: →
Dobra para A: →
Empacotamento para A: →
Portanto, podemos produzir até 10 unidades de A
Verificando todas as restrições, é viável
Agora, calculamos o lucro:
Lucro com C:
Lucro com A:
Total: R$ 50
Isso é maior que a Opção 1 (R$ 80)? Não, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer.
Na verdade, a Opção 1 com C = 40 gera um lucro de R$ 80, que já é maior do que a combinação C = 20 e A = 10, que dá R$ 50. Portanto, a melhor opção continua sendo produzir apenas o produto C.
Resposta
O esquema ótimo de produção semanal é produzir 40 unidades do produto C, resultando em um lucro total de R$ 80,00.