Uma pequena fábrica de papel-toalha manufatura três tipos de produtos: A, B e C. A fábrica recebe papel em grandes rolos. É cortado, dobrado e empacotado. Dado a pequena escala da fábrica, o mercado absorverá qualquer produção à um preço constante. O lucro unitário de cada produto é, respectivamente, R e 1,50. O quadro a seguir identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis.
Seção Prod. R Prod. O quadro a seguir identifica o tempo requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas disponíveis | Seção | Prod Prod. | Prod Qtdade Máquinas
Corte 8 5 2 3
Dobra 5 10 4 10
Empacotamento 0,7 1 2 2
Pergunta-se:
(a) Qual é o esquema ótimo de produção semanal (40 horas)?

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um exercício sobre uma fábrica de papel-toalha que produz três tipos de produtos: A, B e C. Cada produto traz um lucro diferente e a fábrica tem um tempo limitado de produção em três seções: Corte, Dobra e Empacotamento, com um número específico de máquinas disponíveis. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a melhor combinação de produção desses três produtos para maximizar o lucro semanal, considerando que a fábrica trabalha 40 horas por semana. Para resolver isso, vamos usar Programação Linear, uma técnica matemática que ajuda a otimizar resultados sob certas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos otimizar e quais são as nossas restrições. Queremos maximizar o lucro da fábrica produzindo os produtos A, B e C. Cada produto tem um lucro unitário diferente:
  • Produto A: R$ 1,00
  • Produto B: R$ 1,50
  • Produto C: R$ 2,00
Agora, precisamos considerar as limitações de tempo e máquinas disponíveis em cada seção da fábrica:
  • Corte:
    • Tempo por unidade: A = 8 horas, B = 5 horas, C = 2 horas
    • Máquinas disponíveis: 3
  • Dobra:
    • Tempo por unidade: A = 5 horas, B = 10 horas, C = 4 horas
    • Máquinas disponíveis: 10
  • Empacotamento:
    • Tempo por unidade: A = 0,7 horas, B = 1 hora, C = 2 horas
    • Máquinas disponíveis: 2
Vamos traduzir isso em termos matemáticos usando a Programação Linear.

Passo 3

Vamos definir nossas variáveis de decisão:
  • Lucro Total = 1xA + 1,5xB + 2xC : quantidade de produto A a ser produzida por semana
  • : quantidade de produto B a ser produzida por semana
  • : quantidade de produto C a ser produzida por semana
Nosso objetivo é maximizar o lucro total. A função lucro pode ser escrita como:
Este é o que queremos maximizar.

Passo 4

Agora, vamos estabelecer as restrições baseadas no tempo e no número de máquinas disponíveis.
Cada seção tem um tempo total disponível por semana, que é o número de máquinas vezes as horas trabalhadas (40 horas):
  • Corte: 8xA + 5xB + 2xC <= 120 horas
  • Dobra: 5xA + 10xB + 4xC <= 400 horas
  • Empacotamento: 0,7xA + 1xB + 2xC <= 80 horas
As restrições de tempo para cada seção serão:
  • Corte:
xA >= 0, xB >= 0, xC >= 0
  • Dobra:
  • Empacotamento:
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de produtos:

Passo 5

Resumindo, nosso problema de programação linear fica assim:
Maximizar:
Lucro Total = 1xA + 1,5xB + 2xC
Sujeito a:
8xA + 5xB + 2xC <= 120 (Corte) 5xA + 10xB + 4xC <= 400 (Dobra) 0,7xA + 1xB + 2xC <= 80 (Empacotamento) xA, xB, xC >= 0

Passo 6

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos gráficos (se fosse com duas variáveis) ou utilizar ferramentas como o Excel, Solver, ou softwares específicos de Programação Linear. Mas, para simplificar, vamos resolver manualmente buscando as combinações que atendem a todas as restrições e calcular qual dessas combinações dá o maior lucro.

Passo 7

Vamos analisar algumas possíveis combinações:
Opção 1: Produzir apenas o produto C
  • Corte: 80 ) **Opção 2**: Produzir apenas o produto B - Corte: ( 5xB <= 120 ) → ( xB <= 24 ) - Dobra: ( 10xB <= 400 ) → ( xB <= 40 ) - Empacotamento: ( xB <= 80 ) - Portanto, ( xB = 24 ) - Lucro: ( 1,5 times 24 = R
  • Dobra:
  • Empacotamento:
  • Portanto,
  • Lucro:
Opção 2: Produzir apenas o produto B
  • Corte:
  • Dobra:
  • Empacotamento:
  • Portanto,
  • Lucro:
Opção 3: Produzir apenas o produto A
  • Corte:
  • Dobra:
  • Empacotamento: ��
  • Portanto,
  • Lucro:

Passo 8

Observamos que a Opção 1 (produzir apenas o produto C) gera o maior lucro entre as opções analisadas. Agora, vamos verificar se produzir uma combinação de produtos pode gerar um lucro ainda maior.
Por exemplo, vamos tentar produzir 20 unidades de C e ver quanto podemos produzir de A ou B:
  • Para C = 20:
    • Corte usado: 40 ) - Lucro com A: ( 1 times 10 = R horas → Restam 50** Isso é maior que a Opção 1 (R horas
    • Dobra usada: 80, que já é maior do que a combinação C = 20 e A = 10, que dá R horas → Restam horas
    • Empacotamento usado: horas → Restam horas
Agora, vamos tentar adicionar o produto A com base nas horas restantes:
  • Corte para A:
  • Dobra para A:
  • Empacotamento para A:
  • Portanto, podemos produzir até 10 unidades de A
  • Verificando todas as restrições, é viável
Agora, calculamos o lucro:
  • Lucro com C:
  • Lucro com A:
  • Total: R$ 50
Isso é maior que a Opção 1 (R$ 80)? Não, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer.
Na verdade, a Opção 1 com C = 40 gera um lucro de R$ 80, que já é maior do que a combinação C = 20 e A = 10, que dá R$ 50. Portanto, a melhor opção continua sendo produzir apenas o produto C.

Resposta

O esquema ótimo de produção semanal é produzir 40 unidades do produto C, resultando em um lucro total de R$ 80,00.

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