Um produtor de derivados de leite produz queijo e doce de leite à partir do leite que produz em sua propriedade e de alguns vizinhos, que totalizam 800 litros por dia. Na receita utilizada em sua propriedade, produzir cada kg de queijo requer 9 litros de leite, enquanto produzir um kg de doce de leite consome 7 litros de leite. A produção dos derivados é absorvida por um supermercado local, que estabelece um limite de compra de queijos em dia. doce de leite é vendido neste mesmo supermercado e na vizinhança da fazenda que, por ser bem apreciado, acaba sendo completamente consumido, sem limites de produção diária. O maquinário utilizado na produção de ambos os derivados é simples, e por questões técnicas, não permite que a quantidade de queijo produzida exceda da produção de doce de leite. Para produzir os derivados, a fazenda utiliza 2 empregados, que trabalham em regime de 7 horas diárias. Cada kg de queijo requer 30 minutos desta mão de obra, enquanto que são necessários 12 minutos para produzir um kg de doce de leite. Quando sai para vender os produtos na rua, cada kg de queijo sai por R$ 5,00, enquanto o doce de leite é vendido à . Formule um modelo que maximize a receita do produtor, responda qual é o mix ótimo de produção de queijos e doce de leite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um produtor que faz queijo e doce de leite usando 800 litros de leite por dia. Cada kg de queijo usa 9 litros de leite e cada kg de doce usa 7 litros. Ele quer saber quanto produzir de cada um para ganhar o máximo de dinheiro. Vamos usar **Programação Linear**, que é uma técnica matemática para otimizar (maximizar ou minimizar) algo, no caso, a receita. Precisamos definir variáveis, montar a função objetivo e as restrições baseadas nas informações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
- Seja a quantidade de queijo produzida em kg por dia.
- Seja a quantidade de doce de leite produzida em kg por dia.
Passo 3
Agora, vamos montar a **função objetivo**, que é o que queremos maximizar. A receita vem da venda do queijo e do doce de leite.
- Cada kg de queijo é vendido por R$5, então a receita do queijo é .
- Cada kg de doce de leite é vendido por R$4, então a receita do doce é .
Então, a função objetivo fica:
Passo 4
Vamos agora definir as **restrições** do problema:
1. **Limite de leite disponível:**
Cada kg de queijo usa 9 litros e cada kg de doce usa 7 litros. O total de leite usado não pode exceder 800 litros.
2. **Limite de compra de queijo pelo supermercado:**
O supermercado compra no máximo 90 kg de queijo por dia.
3. **Relação entre produção de queijo e doce de leite:**
A produção de queijo não pode ser maior que 150% da produção de doce de leite.
4. **Tempo de mão de obra disponível:**
Existem 2 empregados trabalhando 7 horas por dia, totalizando 14 horas ou 840 minutos por dia.
- Cada kg de queijo requer 30 minutos.
- Cada kg de doce de leite requer 12 minutos.
5. **Não-negatividade:**
Não podemos produzir quantidades negativas.
Passo 5
Vamos resumir nosso modelo de Programação Linear:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e que maximizam a receita .
Passo 6
Vamos resolver graficamente ou usando métodos de álgebra. Para simplificar, vou resolver as restrições para encontrar os pontos de interseção.
1. **Interseção entre e :**
Multiplicando a primeira equação por 30 e a segunda por 9 para eliminar :
Subtraindo as equações:
Substituindo na primeira equação:
Como não pode ser negativo, esse ponto não é viável.
2. **Interseção entre e :**
Substituindo :
Também não viável.
3. **Interseção entre e :**
Substituindo :
4. **Interseção entre e :**
Substituindo :
Agora, analisamos os pontos viáveis: e .
Calculamos a receita em cada ponto:
- Para :
- Para :
O primeiro ponto gera uma receita maior.
Resposta
O mix ótimo de produção para maximizar a receita é produzir aproximadamente **58,53 kg de queijo** e **39,02 kg de doce de leite** por dia, resultando em uma receita máxima de **R$448,73**.