O gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função e pediu para analisar o gráfico dela. Nosso objetivo aqui é entender como desenhar o gráfico dessa função, identificando seus principais pontos como interceptações, máximos e mínimos, além de entender seu comportamento geral. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos. Começamos com a interceptação no eixo y.
Para encontrar a interceptação no eixo y, substituímos na função:
Então, o ponto de interseção com o eixo y é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações no eixo x, ou seja, resolver a equação :
Podemos tentar fatorar essa equação. Vamos verificar se é uma raiz:
Como deu zero, é uma raiz. Então, podemos fatorar da função:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, a fatoração completa é:
As raízes são (com multiplicidade 2) e . Portanto, as interceptações no eixo x são e .

Passo 4

Vamos agora encontrar os pontos críticos da função para identificar máximos e mínimos locais. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada :
Encontramos os pontos críticos resolvendo :
Então, temos dois pontos críticos em e .

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, vamos usar a segunda derivada :
Avaliamo a segunda derivada em cada ponto crítico:
  • Em :
Como , isso indica que é um mínimo local.
  • Em :
Como , isso indica que é um máximo local.

Passo 6

Vamos agora calcular as coordenadas desses pontos máximos e mínimos substituindo os valores de na função original:
  • Para :
Então, o mínimo local é .
  • Para :
Então, o máximo local é .

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função para tendendo ao infinito e menos infinito:
  • Quando :
  • Quando :
Isso nos diz que o gráfico da função sobe para o infinito quando aumenta e desce para o infinito quando diminui.

Passo 8

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Interceptação no eixo y:
  • Interceptações no eixo x: e
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Comportamento final indo para quando e para quando
Com essas informações, você pode desenhar o gráfico conectando esses pontos e garantindo que ele segue o comportamento descrito.

Resposta

O gráfico da função possui interceptações em , e , um máximo local em , e um mínimo local em . O gráfico sobe para o infinito quando aumenta e desce para o infinito quando diminui. Com base nisso, você pode esboçar o gráfico conectando esses pontos e seguindo o comportamento geral da função.

Exercícios relacionados

Assíntotas
O domínio
Limites no infinito
Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .