O gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a função
e pediu para analisar o gráfico dela. Nosso objetivo aqui é entender como desenhar o gráfico dessa função, identificando seus principais pontos como interceptações, máximos e mínimos, além de entender seu comportamento geral. Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos. Começamos com a interceptação no eixo y.
Para encontrar a interceptação no eixo y, substituímos
na função:
Então, o ponto de interseção com o eixo y é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações no eixo x, ou seja, resolver a equação
:
Podemos tentar fatorar essa equação. Vamos verificar se
é uma raiz:
Como deu zero,
é uma raiz. Então, podemos fatorar
da função:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Então, a fatoração completa é:
As raízes são
(com multiplicidade 2) e
. Portanto, as interceptações no eixo x são
e
.
Passo 4
Vamos agora encontrar os pontos críticos da função para identificar máximos e mínimos locais. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
:
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Então, temos dois pontos críticos em
e
.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, vamos usar a segunda derivada
:
Avaliamo a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Em
:
Como
, isso indica que
é um mínimo local.
- Em
:
Como
, isso indica que
é um máximo local.
Passo 6
Vamos agora calcular as coordenadas desses pontos máximos e mínimos substituindo os valores de
na função original:
- Para
:
Então, o mínimo local é
.
- Para
:
Então, o máximo local é
.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função para
tendendo ao infinito e menos infinito:
- Quando
:
- Quando
:
Isso nos diz que o gráfico da função sobe para o infinito quando
aumenta e desce para o infinito quando
diminui.
Passo 8
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função:
- Interceptação no eixo y:
- Interceptações no eixo x:
e - Máximo local em
- Mínimo local em
- Comportamento final indo para
quando e para quando
Com essas informações, você pode desenhar o gráfico conectando esses pontos e garantindo que ele segue o comportamento descrito.
Resposta
O gráfico da função
possui interceptações em
,
e
, um máximo local em
, e um mínimo local em
. O gráfico sobe para o infinito quando
aumenta e desce para o infinito quando
diminui. Com base nisso, você pode esboçar o gráfico conectando esses pontos e seguindo o comportamento geral da função.
Exercícios relacionados
Assíntotas
O domínio
Limites no infinito
Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .
a)
b)
c)
d)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)