Em uma grande empresa verificou-se que a proporção de empregados do sexo masculino era de
. Em uma amostra aleatória de 144 empregados dessa empresa, qual a probabilidade de que:
a) A proporção de empregados do sexo masculino na amostra seja pelo menos
?
b) A proporção de empregados do sexo feminino na amostra esteja entre
e
?
a) A proporção de empregados do sexo masculino na amostra seja pelo menos
b) A proporção de empregados do sexo feminino na amostra esteja entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que em uma grande empresa, 40% dos empregados são homens. A gente pegou uma amostra aleatória de 144 empregados e queremos saber qual a probabilidade de, nessa amostra, pelo menos 50% serem homens. Vamos usar a estatística de proporção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a proporção verdadeira de homens na empresa, que é
. Como a amostra é grande (n = 144), podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição da proporção amostral.
A média da proporção amostral é a mesma da população,
.
O desvio padrão da proporção amostral é dado por:
Passo 3
Queremos saber a probabilidade de que a proporção de homens na amostra seja pelo menos 50%, ou seja,
.
Vamos calcular o valor z correspondente a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a probabilidade de
. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,62% de chance de que, na amostra, pelo menos 50% sejam homens.
Passo 5
Agora, na parte b, a gente quer saber a probabilidade de que a proporção de mulheres na amostra esteja entre 45% e 55%. Sabemos que se 40% são homens, então 60% são mulheres na população.
Passo 6
Vamos definir
como a proporção de mulheres na população. A amostra também é grande (n = 144), então usamos a distribuição normal para aproximar.
A média da proporção amostral de mulheres é
.
O desvio padrão é:
Passo 7
Queremos a probabilidade de
.
Vamos calcular os valores z para
e
:
Passo 8
Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
Consultando a tabela de distribuição normal:
Então,
Isso equivale a aproximadamente 10,55%.
Resposta
A probabilidade de que, em uma amostra de 144 empregados, a proporção de mulheres esteja entre 45% e 55% é aproximadamente 10,55%.
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