Em uma grande empresa verificou-se que a proporção de empregados do sexo masculino era de . Em uma amostra aleatória de 144 empregados dessa empresa, qual a probabilidade de que:
a) A proporção de empregados do sexo masculino na amostra seja pelo menos ?
b) A proporção de empregados do sexo feminino na amostra esteja entre e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que em uma grande empresa, 40% dos empregados são homens. A gente pegou uma amostra aleatória de 144 empregados e queremos saber qual a probabilidade de, nessa amostra, pelo menos 50% serem homens. Vamos usar a estatística de proporção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção verdadeira de homens na empresa, que é . Como a amostra é grande (n = 144), podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição da proporção amostral.
A média da proporção amostral é a mesma da população, .
O desvio padrão da proporção amostral é dado por:

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de que a proporção de homens na amostra seja pelo menos 50%, ou seja, .
Vamos calcular o valor z correspondente a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a probabilidade de . Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,62% de chance de que, na amostra, pelo menos 50% sejam homens.

Passo 5

Agora, na parte b, a gente quer saber a probabilidade de que a proporção de mulheres na amostra esteja entre 45% e 55%. Sabemos que se 40% são homens, então 60% são mulheres na população.

Passo 6

Vamos definir como a proporção de mulheres na população. A amostra também é grande (n = 144), então usamos a distribuição normal para aproximar.
A média da proporção amostral de mulheres é .
O desvio padrão é:

Passo 7

Queremos a probabilidade de .
Vamos calcular os valores z para e :

Passo 8

Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
Consultando a tabela de distribuição normal:
Então,
Isso equivale a aproximadamente 10,55%.

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 144 empregados, a proporção de mulheres esteja entre 45% e 55% é aproximadamente 10,55%.

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