De um grupo de 20 atletas de uma equipe de vôlei o técnico deve selecionar 15 para a disputa de um torneio. Considere que todos os atletas podem atuar em qualquer posição. De quantas maneiras distintas essa seleção pode ser realizada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde um técnico de vôlei precisa escolher 15 atletas de um grupo de 20 para participar de um torneio. O conteúdo principal aqui é combinação, que é uma parte da contagem na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o número de maneiras diferentes de selecionar 15 atletas de um total de 20, sem nos preocupar com a ordem em que são escolhidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação. Quando queremos selecionar um grupo de elementos onde a ordem não importa, usamos combinações. A fórmula para calcular combinações é:
C(n, p) = n!p!(n - p)!
Onde:
  • $ n $ é o número total de elementos,
  • $ p $ é o número de elementos que queremos selecionar,
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até esse número.

Passo 3

No nosso caso, temos $ n = 20 $ atletas e queremos selecionar $ p = 15 $ deles. Então, substituindo na fórmula:
n = 20

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15! $. Então, o $ 15! $ no numerador e no denominador se cancelam:
20! = 20 times 19 times 18 times 17 times 16 times 15!
E como $ 5! = 120 $, temos:
15!

Passo 5

Vamos calcular o numerador primeiro:
20 times 19 = 380 380 times 18 = 6,840 6,840 times 17 = 116,280 116,280 times 16 = 1,860,480
Agora, dividimos pelo denominador:
1,860,480120 = 15,504

Resposta

Existem 15.504 maneiras distintas de selecionar 15 atletas de um grupo de 20 para o torneio.

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