De um grupo de 20 atletas de uma equipe de vôlei o técnico deve selecionar 15 para a disputa de um torneio. Considere que todos os atletas podem atuar em qualquer posição. De quantas maneiras distintas essa seleção pode ser realizada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema onde um técnico de vôlei precisa escolher 15 atletas de um grupo de 20 para participar de um torneio. O conteúdo principal aqui é combinação, que é uma parte da contagem na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o número de maneiras diferentes de selecionar 15 atletas de um total de 20, sem nos preocupar com a ordem em que são escolhidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação. Quando queremos selecionar um grupo de elementos onde a ordem não importa, usamos combinações. A fórmula para calcular combinações é:
Onde:
- $ n $ é o número total de elementos,
- $ p $ é o número de elementos que queremos selecionar,
- $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até esse número.
Passo 3
No nosso caso, temos $ n = 20 $ atletas e queremos selecionar $ p = 15 $ deles. Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que $ 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15! $. Então, o $ 15! $ no numerador e no denominador se cancelam:
E como $ 5! = 120 $, temos:
Passo 5
Vamos calcular o numerador primeiro:
Agora, dividimos pelo denominador:
Resposta
Existem 15.504 maneiras distintas de selecionar 15 atletas de um grupo de 20 para o torneio.