De um grupo de 6 médicos e 8 enfermeiros, quantas comissões com 2 médicos e 4 enfermeiros podemos montar?

Passo 1

Então, temos um grupo de 6 médicos e 8 enfermeiros. A gente precisa montar comissões que tenham exatamente 2 médicos e 4 enfermeiros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações, que ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos escolher pessoas para a comissão sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos ver de quantas maneiras podemos escolher 2 médicos dos 6 disponíveis. A fórmula das combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 6 $ (total de médicos) e $ k = 2 $ (quantos precisamos escolher). Aplicando na fórmula:
n = 6
Calculando os fatoriais:
k = 2
Então:
C(6, 2) = 6!2!(6 - 2)! = 6!2! cdot 4!
Ou seja, há 15 maneiras de escolher 2 médicos.

Passo 3

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 4 enfermeiros dos 8 disponíveis. Usando a mesma fórmula das combinações:
C(8, 4) = 8!4!(8 - 4)! = 8!4! cdot 4!
Calculando os fatoriais:
8! = 8 times 7 times 6 times 5 times 4!
Então:
C(8, 4) = 8 times 7 times 6 times 5 times 4!4! cdot 4! = 8 times 7 times 6 times 54 times 3 times 2 times 1 = 70
Veja que há 70 maneiras de escolher 4 enfermeiros.

Passo 4

Para encontrar o total de comissões possíveis, multiplicamos o número de maneiras de escolher os médicos pelo número de maneiras de escolher os enfermeiros:
15 times 70 = 1050

Resposta

Podemos montar 1.050 comissões diferentes com 2 médicos e 4 enfermeiros.

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