Um grupo de seis amigos foi assistir um filme no cinema e compraram seus ingressos para uma mesma fileira de cadeiras. Considerando haver um casal e que eles se sentaram em cadeiras vizinhas, de quantas formas esses amigos puderam se ajustar na fileira de cadeiras?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos seis amigos que foram ao cinema e compraram ingressos para a mesma fileira de cadeiras. Entre eles, tem um casal que precisa sentar juntinho, ou seja, em cadeiras vizinhas. O que queremos descobrir é de quantas maneiras esses amigos podem se organizar nessa fileira respeitando essa condição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação com restrição, que faz parte da matéria de combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nos amigos como se fossem peças únicas que precisam ser arranjadas em uma fila. Sem nenhuma restrição, a quantidade de maneiras de organizar seis pessoas é dada por
(6 fatorial), que significa
maneiras.
Passo 3
Mas temos uma condição especial: o casal precisa sentar junto. Para facilitar, vamos tratar o casal como se fosse uma única “unidade”. Assim, ao invés de seis pessoas separadas, temos cinco “unidades” para organizar: o casal e os outros quatro amigos.
Passo 4
Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas cinco “unidades”. Isso é dado por
(5 fatorial), que é
maneiras.
Passo 5
Porém, dentro dessa “unidade” do casal, eles também podem trocar de lugar entre si. Ou seja, o casal pode se sentar de duas maneiras diferentes: uma pessoa à esquerda e outra à direita, ou vice-versa. Então, para cada uma das 120 maneiras que encontramos, existem 2 arranjos possíveis dentro do casal.
Passo 6
Para encontrar o total de arranjos possíveis respeitando a condição, multiplicamos o número de arranjos das “unidades” pelo número de arranjos dentro do casal:
Resposta
Portanto, os seis amigos puderam se ajustar na fileira de cadeiras de 240 maneiras diferentes.