O guindaste é usado para içar a rede de peixes com 200 kg para a plataforma. Determine a força compressiva ao longo de cada uma das hastes A B e C B e a tração no cabo de guincho D B. Suponha que a força em cada haste atue ao longo de seu eixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular as forças nas hastes e que estão comprimindo, e na tração do cabo que está puxando. Isso tudo está relacionado à estática, que é a parte da física que estuda como as forças atuam em objetos que estão em equilíbrio, ou seja, sem se mover. Para resolver isso, vamos precisar desenhar diagramas de forças e usar as equações de equilíbrio para encontrar as forças desconhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. A rede de peixes tem uma massa de 200 kg, então a força que ela exerce para baixo devido à gravidade é ².

Passo 3

Agora, vamos desenhar o diagrama de corpo livre do ponto onde as hastes e se encontram, além do cabo . Nesse ponto, temos três forças atuando:
  1. A força de compressão na haste , que chamaremos de .
  2. A força de compressão na haste , que chamaremos de .
  3. A tração no cabo , que chamaremos de .
  4. A força peso para baixo.

Passo 4

Vamos supor que as hastes e fazem ângulos e com a horizontal, respectivamente, e que o cabo faz um ângulo com a horizontal. (Se os ângulos forem dados no problema, use-os aqui; se não, continue com variáveis.)

Passo 5

Para o sistema estar em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero. Vamos escrever as equações de equilíbrio:
Equilíbrio na horizontal:
FAB cdot cos(theta) + FCB cdot cos(phi) - TDB cdot cos(alpha) = 0
Equilíbrio na vertical:
FAB cdot sin(theta) + FCB cdot sin(phi) + TDB cdot sin(alpha) - Fg = 0

Passo 6

Agora, temos duas equações com três incógnitas ( , , ). Para resolver esse sistema, precisamos de mais informações, como relações entre os ângulos ou comprimentos das hastes. Se, por exemplo, a estrutura for simétrica, podemos ter , o que simplifica as equações.

Passo 7

Assumindo que a estrutura é simétrica e FAB cdot cos(theta) + FCB cdot cos(theta) - TDB cdot cos(alpha) = 0 , as equações ficam:
Horizontal:
(FAB + FCB) cdot cos(theta) = TDB cdot cos(alpha)
FAB cdot sin(theta) + FCB cdot sin(theta) + TDB cdot sin(alpha) = 1960 , N
Vertical:
(FAB + FCB) cdot sin(theta) + TDB cdot sin(alpha) = 1960 , N

Passo 8

Se adotarmos que 2FAB cdot cos(theta) = TDB cdot cos(alpha) (por simetria), podemos simplificar ainda mais:
2FAB cdot sin(theta) + TDB cdot sin(alpha) = 1960 , N

Passo 9

Agora, podemos resolver essas equações para encontrar TDB = 2FAB cdot cos(theta)cos(alpha) , 2FAB cdot sin(theta) + ( 2FAB cdot cos(theta)cos(alpha) ) cdot sin(alpha) = 1960 , N e . Primeiro, isolamos na primeira equação:
Substituímos isso na segunda equação:

Passo 10

Agora, fatoramos 2FAB ( sin(theta) + cos(theta) cdot sin(alpha)cos(alpha) ) = 1960 , N :
sin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta)
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
2FAB ( sin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta) ) = 1960 , N
Então:

Passo 11

Resolvendo para FAB = 1960 , N2 ( sin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta) ) :
FAB = 980 , Nsin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta)
FCB = 980 , Nsin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta)
Como , temos:

Passo 12

Agora, substituímos TDB = 2 cdot 980 , Nsin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta) cdot cos(theta)cos(alpha) na equação para TDB = 1960 , N cdot cos(theta)(sin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta)) cdot cos(alpha) :

Resposta

As forças compressivas nas hastes FAB = FCB = 980 , Nsin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta) e TDB = 1960 , N cdot cos(theta)(sin(theta) + tan(alpha) cdot cos(theta)) cdot cos(alpha) são dadas por:
E a tração no cabo é:
Para valores numéricos específicos, precisamos conhecer os ângulos e .

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