Há 8 carros estacionados em 12 vagas em fila. Determine a probabilidade:
das vagas vazias serem consecutivas.
das vagas vazias serem consecutivas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá sendo pedido aqui. A gente tem 12 vagas de estacionamento em fila e 8 carros estacionados. Queremos descobrir a probabilidade de que as 4 vagas vazias fiquem todas juntas, ou seja, consecutivas. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações, que nos ajudam a contar de quantas maneiras podemos organizar os carros e as vagas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de estacionar os 8 carros nas 12 vagas. Isso é uma combinação porque a ordem dos carros não importa nesse caso específico. A fórmula para combinações é:
Aqui, $ n = 12 $ vagas e $ k = 8 $ carros. Então:
Isso significa que existem 495 maneiras diferentes de estacionar os 8 carros nas 12 vagas sem nenhuma restrição.
Passo 3
Agora, vamos calcular o número de maneiras favoráveis, ou seja, quando as 4 vagas vazias estão todas juntas. Para isso, podemos pensar nas 4 vagas vazias como um único bloco. Então, além desse bloco, temos os 8 carros que ocuparão as outras vagas.
Como temos 12 vagas no total e 4 estão sendo usadas pelo bloco das vagas vazias, restam $ 12 - 4 + 1 = 9 $ posições possíveis para esse bloco. O “+1” vem porque o bloco pode começar na vaga 1 até a vaga 9 para que todas as 4 vagas fiquem dentro das 12 vagas disponíveis.
Então, existem 9 maneiras de posicionar as 4 vagas vazias consecutivas.
Passo 4
Com os números que já calculamos, podemos agora determinar a probabilidade de as 4 vagas vazias serem consecutivas. A probabilidade é dada pela razão entre o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras possíveis:
Resposta
A probabilidade de que as 4 vagas vazias sejam consecutivas é: