e
, mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade. Nos dizem que a probabilidade do evento A acontecer é $ P(A) = \frac{2}{3} $ e a probabilidade do evento B acontecer é $ P(B) = \frac{4}{9} $. A gente precisa mostrar que a probabilidade de A e B acontecerem juntos, que é $ P(A \cap B) $, está entre $ \frac{1}{9} $ e $ \frac{4}{9} $. Para isso, vamos usar algumas regras básicas de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para dois eventos A e B, a probabilidade de ambos acontecerem juntos, $ P(A \cap B) $, tem um limite inferior e um limite superior. O limite inferior é dado por:
Esse é o princípio da probabilidade mínima conjunta. Vamos calcular isso usando os valores que temos:
Passo 3
Vamos somar as frações:
Então:
Agora subtraímos 1, que é igual a $ \frac{9}{9} $:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos determinar o limite superior de $ P(A \cap B) $. Sabemos que a probabilidade conjunta de dois eventos não pode ser maior que a probabilidade de qualquer um dos eventos individualmente. Isso significa que:
Onde $ \min \left{ P(A), P(B) \right} $ representa o menor valor entre $ P(A) $ e $ P(B) $. Vamos identificar qual é o menor valor:
Claramente, $ \frac{4}{9} $ é menor que $ \frac{6}{9} $, então:
Resposta
Assim, mostramos que: