Se P(A)=23 e P(B)=49, mostre que:
19 <= P(A cap B) <= 49.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade. Nos dizem que a probabilidade do evento A acontecer é $ P(A) = \frac{2}{3} $ e a probabilidade do evento B acontecer é $ P(B) = \frac{4}{9} $. A gente precisa mostrar que a probabilidade de A e B acontecerem juntos, que é $ P(A \cap B) $, está entre $ \frac{1}{9} $ e $ \frac{4}{9} $. Para isso, vamos usar algumas regras básicas de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para dois eventos A e B, a probabilidade de ambos acontecerem juntos, $ P(A \cap B) $, tem um limite inferior e um limite superior. O limite inferior é dado por:
P(A cap B)
Esse é o princípio da probabilidade mínima conjunta. Vamos calcular isso usando os valores que temos:
P(A cap B) >= P(A) + P(B) - 1

Passo 3

Vamos somar as frações:
23 = 69 (convertendo para denominador 9)
Então:
69 + 49 = 109
Agora subtraímos 1, que é igual a $ \frac{9}{9} $:
99
Portanto:
109 - 99 = 19

Passo 4

Agora, vamos determinar o limite superior de $ P(A \cap B) $. Sabemos que a probabilidade conjunta de dois eventos não pode ser maior que a probabilidade de qualquer um dos eventos individualmente. Isso significa que:
P(A cap B)
Onde $ \min \left{ P(A), P(B) \right} $ representa o menor valor entre $ P(A) $ e $ P(B) $. Vamos identificar qual é o menor valor:
P(A cap B) <= min P(A), P(B)
Claramente, $ \frac{4}{9} $ é menor que $ \frac{6}{9} $, então:
min P(A), P(B)

Resposta

Assim, mostramos que:
19 <= P(A cap B) <= 49

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