Quais harmônicos de um tubo fechado de comprimento coincidem com harmônicos de um tubo aberto de comprimento ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois tubos:
  • Um tubo fechado com comprimento .
  • Um tubo aberto com comprimento .
Queremos descobrir quais harmônicos (as vibrações que soam como múltiplos da frequência fundamental) do tubo fechado coincidem com os harmônicos do tubo aberto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias em tubos e como os harmônicos são formados em tubos fechados e abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como os harmônicos funcionam em cada tipo de tubo.
  • Tubo Fechado: Tem apenas nós (pontos fixos) em uma extremidade e um polo (ponto de máxima vibração) na outra. Isso significa que apenas os harmônicos ímpares são possíveis. A frequência do -ésimo harmônico é dada por:
    onde é a velocidade do som no ar e
  • Tubo Aberto: Tem polo em ambas as extremidades, permitindo todos os harmônicos (ímpares e pares). A frequência do -ésimo harmônico é:
    onde

Passo 3

Agora, queremos encontrar quando . Vamos igualar as duas equações:

Passo 4

Simplificando a equação, podemos cancelar e dos dois lados:
Ou seja:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Aqui percebemos um problema: precisa ser um número inteiro porque representa o número do harmônico. No entanto, a equação sugere que seria um número meio inteiro (como 1,5; 2,5; etc.), o que não é possível.

Passo 7

Isso significa que não existe nenhum valor inteiro de e que satisfaça a equação. Portanto, não há harmônicos que coincidam entre o tubo fechado de comprimento e o tubo aberto de comprimento .

Resposta

Nenhum harmônico de um tubo fechado de comprimento coincide com os harmônicos de um tubo aberto de comprimento .

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