Uma haste delgada homogênea de comprimento L e massa está em repouso inicialmente e dependurada verticalmente por uma de suas extremidades em um eixo horizontal em torno do qual ela pode girar livremente. Um projétil de massa m e velocidade
vindo na direção horizontal colide com a haste bem no meio dela onde fica encrustado. Supondo que o conjunto (haste + projétil) gire um ângulo máximo de
até parar momentaneamente, determine a velocidade
do projétil antes da colisão em função de g, L e da razão . Lembre-se que para uma haste homogênea girando em torno do seu C.M. temos .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma haste fina e homogênea, ou seja, com massa distribuída igualmente, de comprimento $ L $ e massa $ M $. Ela está pendurada verticalmente e pode girar livremente em um ponto fixo. Um projétil de massa $ m $ e velocidade $ v $ atinge a haste exatamente no meio dela e fica preso. Depois da colisão, o conjunto haste + projétil gira até parar momentaneamente, formando um ângulo de $ 90^\circ $. Precisamos descobrir qual era a velocidade inicial $ v $ do projétil antes de bater na haste, em função de $ g $ (aceleração da gravidade), $ L $ e a relação entre as massas.
Pra resolver isso, vamos usar dois princípios principais da física:
- Conservação do momento angular: durante a colisão, não tem torque externo agindo, então o momento angular total antes da colisão é igual ao momento angular total depois.
- Conservação da energia: na parte do movimento após a colisão, vamos considerar a conservação da energia mecânica para determinar a velocidade angular inicial que leva o sistema até o ponto de parada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento angular antes da colisão. Como a haste está em repouso, o único momento angular vem do projétil que está se movendo com velocidade $ v
L $) é dado por:
Aqui, $ r $ é a distância do ponto de rotação até o ponto onde o projétil atinge a haste. Como a haste tem comprimento $ L $ e o projétil atinge o meio dela, $ r = \frac{L}{2} $. Então:
Passo 3
Depois da colisão, o projétil fica preso na haste, formando um sistema haste + projétil. Vamos precisar calcular o momento de inércia desse sistema para usar na conservação do momento angular. O momento de inércia ($ I $) de uma haste homogênea girando em torno de um dos extremos é:
Agora, para o projétil preso no meio da haste, o momento de inércia é:
O momento de inércia total do sistema é a soma dos dois:
Passo 4
Pela conservação do momento angular, o momento angular antes da colisão é igual ao momento angular após a colisão. Após a colisão, o sistema gira com uma velocidade angular $ \omega $. Então:
Resolvendo para $ \omega $:
Passo 5
Agora, vamos usar a conservação da energia para relacionar a velocidade angular $ \omega $ com o ângulo máximo de $ 90^\circ
U $) adquirida é:
Aqui, $ h $ é a altura que o centro de massa do sistema sobe. Para $ 90^\circ $, a haste sobe totalmente horizontal, então o centro de massa da haste se move uma distância $ \frac{L}{2} $ para cima, e o projétil se move uma distância $ \frac{L}{2} $ também. Então:
A energia cinética inicial ($ K $) do sistema após a colisão é:
Igualando $ K = U $:
Substituindo $ \omega $ da etapa anterior:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ v $ nessa equação. Primeiro, simplificamos:
Resolvendo para $ v^2 $:
Substituindo $ I_{total} = \frac{1}{3} M L^2 + \frac{m L^2}{4} $:
Simplificando $ L^3 / L^2 = L $:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade inicial $ v $ do projétil é dada por: