Uma haste delgada homogênea de comprimento L e massa está em repouso inicialmente e dependurada verticalmente por uma de suas extremidades em um eixo horizontal em torno do qual ela pode girar livremente. Um projétil de massa m e velocidade v vindo na direção horizontal colide com a haste bem no meio dela onde fica encrustado. Supondo que o conjunto (haste + projétil) gire um ângulo máximo de 90^circ até parar momentaneamente, determine a velocidade v do projétil antes da colisão em função de g, L e da razão . Lembre-se que para uma haste homogênea girando em torno do seu C.M. temos .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma haste fina e homogênea, ou seja, com massa distribuída igualmente, de comprimento $ L $ e massa $ M $. Ela está pendurada verticalmente e pode girar livremente em um ponto fixo. Um projétil de massa $ m $ e velocidade $ v $ atinge a haste exatamente no meio dela e fica preso. Depois da colisão, o conjunto haste + projétil gira até parar momentaneamente, formando um ângulo de $ 90^\circ $. Precisamos descobrir qual era a velocidade inicial $ v $ do projétil antes de bater na haste, em função de $ g $ (aceleração da gravidade), $ L $ e a relação entre as massas.
Pra resolver isso, vamos usar dois princípios principais da física:
  1. Conservação do momento angular: durante a colisão, não tem torque externo agindo, então o momento angular total antes da colisão é igual ao momento angular total depois.
  2. Conservação da energia: na parte do movimento após a colisão, vamos considerar a conservação da energia mecânica para determinar a velocidade angular inicial que leva o sistema até o ponto de parada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento angular antes da colisão. Como a haste está em repouso, o único momento angular vem do projétil que está se movendo com velocidade $ v v L $) é dado por:
L
Aqui, $ r $ é a distância do ponto de rotação até o ponto onde o projétil atinge a haste. Como a haste tem comprimento $ L $ e o projétil atinge o meio dela, $ r = \frac{L}{2} $. Então:
L = m cdot v cdot r

Passo 3

Depois da colisão, o projétil fica preso na haste, formando um sistema haste + projétil. Vamos precisar calcular o momento de inércia desse sistema para usar na conservação do momento angular. O momento de inércia ($ I $) de uma haste homogênea girando em torno de um dos extremos é:
I
Agora, para o projétil preso no meio da haste, o momento de inércia é:
Ihaste = 13 M L^2 é
O momento de inércia total do sistema é a soma dos dois:
Iprojétil = m cdot (L2)^2 = m L^24

Passo 4

Pela conservação do momento angular, o momento angular antes da colisão é igual ao momento angular após a colisão. Após a colisão, o sistema gira com uma velocidade angular $ \omega $. Então:
omega
Resolvendo para $ \omega $:
m cdot v cdot L2 = Itotal cdot omega

Passo 5

Agora, vamos usar a conservação da energia para relacionar a velocidade angular $ \omega $ com o ângulo máximo de $ 90^\circ omega é U $) adquirida é:
90^circ
Aqui, $ h $ é a altura que o centro de massa do sistema sobe. Para $ 90^\circ $, a haste sobe totalmente horizontal, então o centro de massa da haste se move uma distância $ \frac{L}{2} $ para cima, e o projétil se move uma distância $ \frac{L}{2} $ também. Então:
U
A energia cinética inicial ($ K $) do sistema após a colisão é:
U = (M + m) g h
Igualando $ K = U $:
h
Substituindo $ \omega $ da etapa anterior:
90^circ

Passo 6

Agora, vamos isolar $ v $ nessa equação. Primeiro, simplificamos:
v
Resolvendo para $ v^2 $:
Itotal ( m vL ( 23 M + m2 ) )^2 = (M + m) g L
Substituindo $ I_{total} = \frac{1}{3} M L^2 + \frac{m L^2}{4} $:
v^2
Simplificando $ L^3 / L^2 = L $:
v^2 = (M + m) g L cdot L^2 ( 23 M + m2 )^2Itotal m^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Itotal = 13 M L^2 + m L^24

Resposta

A velocidade inicial $ v $ do projétil é dada por:
v

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