Em um elevador de carros, utilizado em oficina, o ar comprimido exerce uma força em um pequeno pistão de seção transversal circular que tem raio de 5,00 cm. Essa pressão é transmitida por um fluido incompressível a um segundo pistão de raio 15,0 cm.
a) Que força o ar comprimido deve exercer para levantar um carro que pesa 13.300 N ?
b) Que pressão de ar produzirá essa força?
c) Considere o elevador como sistema não isolado e demonstre que a transferência de energia na entrada se iguala em magnitude à transferência de energia na saída.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo um sistema hidráulico, que é usado em elevadores de carro em oficinas. O enunciado nos dá informações sobre dois pistões com seções transversais circulares de diferentes raios e nos pede para calcular a força que o ar comprimido precisa exercer, a pressão gerada por essa força e demonstrar a conservação de energia no sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática, especialmente a Lei de Pascal, que diz que a pressão aplicada em um fluido incompressível é transmitida igualmente em todas as direções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual força o ar comprimido deve exercer para levantar um carro que pesa 13.300 N?
A Lei de Pascal nos diz que a pressão é a mesma em ambos os pistões:
P1 = P2
A pressão P = FA é dada por:
A = pi r^2
Onde:
  • r1 = 5,00 , cm = 0,05 , m é a força aplicada.
  • A1 = pi (0,05)^2 = pi times 0,0025 = 0,00785 , m^2 é a área da seção transversal do pistão.
Vamos calcular as áreas dos dois pistões. Como são circulares, a área é:
r2 = 15,0 , cm = 0,15 , m
Primeiro, calculamos as áreas dos pistões:
  • Pistão 1 (pequeno):
    A2 = pi (0,15)^2 = pi times 0,0225 = 0,07069 , m^2
    F1A1 = F2A2
  • Pistão 2 (grande):
    F1 = F2 times A1A2
    F1 = 13300 times 0,007850,07069 approx 13300 times 0,111 = 1476,3 , N
Sabemos que a força no pistão maior é o peso do carro, que é 13.300 N. Queremos encontrar a força no pistão menor.
Usando a igualdade das pressões:
Isolando :
Substituindo os valores:
Então, a força que o ar comprimido deve exercer é aproximadamente 1.476 N.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Qual pressão de ar produzirá essa força?
Já que sabemos a força P = FA e a área P = 14760,00785 approx 188,1 times 10^3 , Pa , podemos calcular a pressão usando a fórmula:
P approx 1,88 , bar
Substituindo os valores:
Convertendo para unidades mais comuns, sabemos que , então:
Portanto, a pressão de ar necessária é aproximadamente 1,88 bar.

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte c): Demonstrar que a transferência de energia na entrada se iguala em magnitude à transferência de energia na saída no sistema não isolado.
Em um sistema hidráulico ideal (sem perdas), a energia fornecida na entrada deve ser igual à energia recebida na saída. A energia E = F times d transferida é igual ao produto da força F1 times d1 = F2 times d2 pela distância :
Na entrada, temos a força e vamos chamar a distância deslocada pelo pistão menor de . Na saída, temos a força e a distância deslocada pelo pistão maior .
Como a energia é conservada:
Isso mostra que a energia transferida na entrada é igual à energia transferida na saída, garantindo que o sistema respeita a conservação de energia.

Resposta

a) A força que o ar comprimido deve exercer é aproximadamente 1.476 N.
b) A pressão de ar necessária para produzir essa força é aproximadamente 1,88 bar.
c) No sistema hidráulico, a energia transferida na entrada é igual à energia transferida na saída, ou seja, , demonstrando a conservação de energia no elevador.

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