Em um elevador de carros, utilizado em oficina, o ar comprimido exerce uma força em um pequeno pistão de seção transversal circular que tem raio de
. Essa pressão é transmitida por um fluido incompressível a um segundo pistão de raio
.
a) Que força o ar comprimido deve exercer para levantar um carro que pesa 13.300 N ?
b) Que pressão de ar produzirá essa força?
c) Considere o elevador como sistema não isolado e demonstre que a transferência de energia na entrada se iguala em magnitude à transferência de energia na saída.
a) Que força o ar comprimido deve exercer para levantar um carro que pesa 13.300 N ?
b) Que pressão de ar produzirá essa força?
c) Considere o elevador como sistema não isolado e demonstre que a transferência de energia na entrada se iguala em magnitude à transferência de energia na saída.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo um sistema hidráulico, que é usado em elevadores de carro em oficinas. O enunciado nos dá informações sobre dois pistões com seções transversais circulares de diferentes raios e nos pede para calcular a força que o ar comprimido precisa exercer, a pressão gerada por essa força e demonstrar a conservação de energia no sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática, especialmente a Lei de Pascal, que diz que a pressão aplicada em um fluido incompressível é transmitida igualmente em todas as direções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual força o ar comprimido deve exercer para levantar um carro que pesa 13.300 N?
A Lei de Pascal nos diz que a pressão é a mesma em ambos os pistões:
A pressão
é dada por:
Onde:
-
é a força aplicada. -
é a área da seção transversal do pistão.
Vamos calcular as áreas dos dois pistões. Como são circulares, a área é:
Primeiro, calculamos as áreas dos pistões:
-
Pistão 1 (pequeno):
-
Pistão 2 (grande):
Sabemos que a força no pistão maior
é o peso do carro, que é 13.300 N. Queremos encontrar a força
no pistão menor.
Usando a igualdade das pressões:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Então, a força que o ar comprimido deve exercer é aproximadamente 1.476 N.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Qual pressão de ar produzirá essa força?
Já que sabemos a força
e a área
, podemos calcular a pressão usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Convertendo para unidades mais comuns, sabemos que
, então:
Portanto, a pressão de ar necessária é aproximadamente 1,88 bar.
Passo 4
Por fim, vamos resolver a parte c): Demonstrar que a transferência de energia na entrada se iguala em magnitude à transferência de energia na saída no sistema não isolado.
Em um sistema hidráulico ideal (sem perdas), a energia fornecida na entrada deve ser igual à energia recebida na saída. A energia
transferida é igual ao produto da força
pela distância
:
Na entrada, temos a força
e vamos chamar a distância deslocada pelo pistão menor de
. Na saída, temos a força
e a distância deslocada pelo pistão maior
.
Como a energia é conservada:
Isso mostra que a energia transferida na entrada é igual à energia transferida na saída, garantindo que o sistema respeita a conservação de energia.
Resposta
a) A força que o ar comprimido deve exercer é aproximadamente 1.476 N.
b) A pressão de ar necessária para produzir essa força é aproximadamente 1,88 bar.
c) No sistema hidráulico, a energia transferida na entrada é igual à energia transferida na saída, ou seja,
, demonstrando a conservação de energia no elevador.