Com as hipóteses do Exercício 2.10 e admitindo que
e
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que nos pede para mostrar duas igualdades envolvendo derivadas parciais em coordenadas polares. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a conversão de derivadas de coordenadas cartesianas para polares. Para resolver, vamos precisar usar as relações entre
,
e
,
e aplicar as regras de derivação em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as relações entre as coordenadas cartesianas
e as coordenadas polares
. As equações são:
Essas expressões nos permitem reescrever funções que dependem de
e
em termos de
e
.
Passo 3
Agora, suponha que temos funções
e
. Queremos expressar as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
, temos:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 5
De forma similar, para
, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos considerar as funções
e
que satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Essas condições são fundamentais para funções analíticas em coordenadas cartesianas.
Passo 7
Substituindo as equações de Cauchy-Riemann nas expressões de
e
, obtemos:
Passo 8
Observando que:
Podemos reorganizar as expressões para relacionar
e
.
Passo 9
Depois de manipular as equações e simplificar, chegamos às seguintes igualdades:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental .
(f)
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental
(f)
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental .
(e)
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental
(e)
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental .
(d)
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental
(d)
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental .
(g)
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental
(g)