Com as hipóteses do Exercício 2.10 e admitindo que x = r cos(theta) e y = r sen(θ), mostre que
y = sen(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que nos pede para mostrar duas igualdades envolvendo derivadas parciais em coordenadas polares. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a conversão de derivadas de coordenadas cartesianas para polares. Para resolver, vamos precisar usar as relações entre , e , e aplicar as regras de derivação em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares . As equações são:
Essas expressões nos permitem reescrever funções que dependem de e em termos de e .

Passo 3

Agora, suponha que temos funções e . Queremos expressar as derivadas parciais de e em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para , temos:
Calculando as derivadas de e em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 5

De forma similar, para , aplicamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas de e em relação a :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos considerar as funções e que satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Essas condições são fundamentais para funções analíticas em coordenadas cartesianas.

Passo 7

Substituindo as equações de Cauchy-Riemann nas expressões de e , obtemos:

Passo 8

Observando que:
Podemos reorganizar as expressões para relacionar e .

Passo 9

Depois de manipular as equações e simplificar, chegamos às seguintes igualdades:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental .
(f)
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental .
(e)
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental .
(d)
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental .
(g)