Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² – 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² – 40x – 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a :
[A] 4 lotes.
[B] 5 lotes.
[C] 6 lotes.
[D] 7 lotes.
[E] 8 lotes. A resposta é [D].

Passo 1

Então, o exercício fala sobre uma indústria que produz x lotes de um produto por mês. A gente tem duas funções: uma que mostra o valor das vendas, que é $ V(x) = 3x^2 - 12x $, e outra que mostra o custo da produção, que é $ C(x) = 5x^2 - 40x - 40 $. O que a gente precisa descobrir é para qual quantidade de lotes $ x $ a indústria vai obter o lucro máximo. Para isso, vamos usar conceitos de funções e lucro, além de calcular derivadas para encontrar o ponto máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o lucro é a diferença entre o valor das vendas e o custo de produção. Então, o lucro $ L(x) $ é dado por:
L(x)
Substituindo as funções que a gente tem:
L(x) = V(x) - C(x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
L(x) = 3x^2 - 12x - 5x^2 + 40x + 40
L(x) = -2x^2 + 28x + 40
Então, nossa função de lucro é:
L(x) = -2x^2 + 28x + 40

Passo 4

Para encontrar o lucro máximo, precisamos encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ L(x) $. Como a função é do segundo grau e o coeficiente de $ x^2 $ é negativo (-2), sabemos que o gráfico é uma parábola que abre para baixo, o que significa que tem um ponto máximo.

Passo 5

O ponto máximo de uma parábola $ ax^2 + bx + c $ ocorre no vértice, que está em:
ax^2 + bx + c
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 28 $, então:
x = -b2a
a = -2
b = 28

Resposta

A indústria deve vender 7 lotes para obter o lucro máximo. Portanto, a resposta é [D] 7 lotes.

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