Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² – 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² – 40x – 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a :
[A] 4 lotes.
[B] 5 lotes.
[C] 6 lotes.
[D] 7 lotes.
[E] 8 lotes. A resposta é [D].
[A] 4 lotes.
[B] 5 lotes.
[C] 6 lotes.
[D] 7 lotes.
[E] 8 lotes. A resposta é [D].
Passo 1
Então, o exercício fala sobre uma indústria que produz x lotes de um produto por mês. A gente tem duas funções: uma que mostra o valor das vendas, que é $ V(x) = 3x^2 - 12x $, e outra que mostra o custo da produção, que é $ C(x) = 5x^2 - 40x - 40 $. O que a gente precisa descobrir é para qual quantidade de lotes $ x $ a indústria vai obter o lucro máximo. Para isso, vamos usar conceitos de funções e lucro, além de calcular derivadas para encontrar o ponto máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o lucro é a diferença entre o valor das vendas e o custo de produção. Então, o lucro $ L(x) $ é dado por:
Substituindo as funções que a gente tem:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Então, nossa função de lucro é:
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, precisamos encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ L(x) $. Como a função é do segundo grau e o coeficiente de $ x^2 $ é negativo (-2), sabemos que o gráfico é uma parábola que abre para baixo, o que significa que tem um ponto máximo.
Passo 5
O ponto máximo de uma parábola $ ax^2 + bx + c $ ocorre no vértice, que está em:
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 28 $, então:
Resposta
A indústria deve vender 7 lotes para obter o lucro máximo. Portanto, a resposta é [D] 7 lotes.