A inequação (-5x + 6 + x²) > 0 é válida se x for:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação -5x + 6 + x² > 0². Aqui, estamos trabalhando com inequações quadráticas, que é quando a variável x está elevada ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar os sinais de uma função quadrática e encontrar seus zeros (os valores de x que fazem a expressão igual a zero).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a inequação de forma mais familiar: x² - 5x + 6 > 0². Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de x que fazem essa expressão ser maior que zero.

Passo 3

Para resolver isso, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x que tornam x² - 5x + 6 = 0². Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 4

Podemos fatorar a equação quadrática x² - 5x + 6 = 0². Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e que somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então, a fatoração fica:
(x - 2)(x - 3) = 0

Passo 5

Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os valores de x:
x - 2 = 0 Rightarrow x = 2
x - 3 = 0 Rightarrow x = 3
Então, os pontos críticos são x = 2 e x = 3.

Passo 6

Esses pontos dividem a reta dos números reais em três intervalos:
  1. x < 2
  2. 2 < x < 3
  3. x > 3
Vamos testar um valor de x em cada intervalo para ver se a expressão x² - 5x + 6² é positiva.

Passo 7

Intervalo 1: x < 2. Vamos escolher x = 1.
1² - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 > 0 ²
Então, nesse intervalo, a expressão é positiva.

Passo 8

Intervalo 2: 2 < x < 3. Vamos escolher x = 2,5.
(2,5)^2 - 5(2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 < 0
Nesse intervalo, a expressão é negativa.

Passo 9

Intervalo 3: x > 3. Vamos escolher x = 4.
4² - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 ²
Aqui, a expressão também é positiva.

Resposta

A inequação -5x + 6 + x² > 0² é válida para todos os valores de x tais que x < 2 ou x > 3.

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