A inequação (-5x + 6 + x²) > 0 é válida se x for:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos trabalhando com inequações quadráticas, que é quando a variável
está elevada ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar os sinais de uma função quadrática e encontrar seus zeros (os valores de
que fazem a expressão igual a zero).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a inequação de forma mais familiar:
. Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de
que fazem essa expressão ser maior que zero.
Passo 3
Para resolver isso, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
que tornam
. Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 4
Podemos fatorar a equação quadrática
. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e que somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então, a fatoração fica:
Passo 5
Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os valores de
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Esses pontos dividem a reta dos números reais em três intervalos:
Vamos testar um valor de
em cada intervalo para ver se a expressão
é positiva.
Passo 7
Intervalo 1:
. Vamos escolher
.
Então, nesse intervalo, a expressão é positiva.
Passo 8
Intervalo 2:
. Vamos escolher
.
Nesse intervalo, a expressão é negativa.
Passo 9
Intervalo 3:
. Vamos escolher
.
Aqui, a expressão também é positiva.
Resposta
A inequação
é válida para todos os valores de
tais que
ou
.