Resolva o seguinte sistema linear pelo Método de Eliminação de Gauss e indique o valor da solução. x + 2y + 4z = 16 x + z = 8 x + 2y + z = 19
a. x = 3, y = 0, z = 1
b. x = 3, y = 2,5 z = 2
c. x = -1, y = 2,5, z = 3
d. x = 2, y = 0, z = 4
e. x = -1, y = 0,5, z = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
x + 2y + 4z = 16 x + z = 8 x + 2y + z = 19
Vamos precisar entender como eliminar variáveis para simplificar o sistema e encontrar os valores de $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a eliminação. Vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
1 & 2 & 4 & | & 16 1 & 0 & 1 & | & 8 1 & 2 & 1 & | & 19
Isso nos ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer.

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma variável de duas das equações para reduzir o sistema a duas equações com duas variáveis. Vamos eliminar o $ x $.
Vamos subtrair a segunda linha da primeira e da terceira:
  • Primeira linha menos segunda linha:
x
  • Terceira linha menos segunda linha:
(1 - 1)x + (2 - 0)y + (4 - 1)z = 16 - 8 0x + 2y + 3z = 8 Rightarrow 2y + 3z = 8

Passo 4

Agora temos um sistema simplificado:
2y + 3z = 8 2y = 11
Vamos resolver a segunda equação para encontrar $ y $:
y

Passo 5

Com o valor de $ y = 5,5 $, vamos substituir na primeira equação simplificada para encontrar $ z $:
y = 5,5

Passo 6

Agora que temos $ y = 5,5 $ e $ z = -1 $, vamos substituir esses valores em uma das equações originais para encontrar $ x $. Vamos usar a segunda equação original:
y = 5,5

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde aos valores encontrados ($ x = 9 $, $ y = 5,5 $, $ z = -1 $). Parece que houve algum erro nas opções fornecidas.

Exercícios relacionados