Em um mesmo instante colocam-se 5 bactérias de um certo tipo em um recipiente e 5 bactérias de um segundo tipo em outro recipiente. Representando por f(t) a quantidade de bactérias do primeiro tipo e por g(t) a do segundo tipo, t minutos após o início do experimento, observa-se que f(t) = 9 elevado a t + 4 e g(t) = 5. 3 elevado a t. Após iniciado o experimento, as quantidades de bactérias nos dois recepientes voltam a se igualar quando em ambos recepientes existirem quantas bactérias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de crescimento de bactérias envolvendo duas populações diferentes. Temos que descobrir em que momento as quantidades de bactérias nos dois recipientes serão iguais. Para resolver isso, vamos trabalhar com funções exponenciais e resolver uma equação para encontrar o tempo t. Vamos precisar entender como igualar as duas funções e resolver para t.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as funções que representam a quantidade de bactérias em cada recipiente:
  • Para o primeiro tipo de bactéria: $ f(t) = 9^t + 4 $
  • Para o segundo tipo de bactéria: $ g(t) = 5 \cdot 3^t $
Nosso objetivo é encontrar o valor de t onde $ f(t) = g(t) $, ou seja:
f(t) = 9^t + 4

Passo 3

Vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Sabemos que $ 9^t $ pode ser escrito como $ (32)t = 3^{2t} $. Então, a equação fica:
9^t

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para deixar a equação mais simples. Seja $ x = 3^t $. Assim, $ 3^{2t} = (3t)2 = x^2 $. Substituindo na equação:
x = 3^t

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática:
x^2 - 5x + 4 = 0
Vamos resolver essa equação. Podemos fatorar:
(x - 1)(x - 4) = 0
Então, as soluções são:
x = 1 ou x = 4

Passo 6

Lembrando que $ x = 3^t $, vamos resolver para t em cada caso.
  1. Se $ x = 1 $:
x = 3^t
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:
x = 1
  1. Se $ x = 4 $:
3^t = 1
Para resolver isso, usamos logaritmo:
t = 0
Calculando:
x = 4

Passo 7

O tempo t = 0 é o instante inicial do experimento, onde ainda não houve crescimento. O caso relevante é $ t \approx 1.2619 $ minutos, que é quando as quantidades de bactérias se igualam novamente.

Resposta

As quantidades de bactérias nos dois recipientes se igualam novamente quando existem aproximadamente 4 bactérias em cada recipiente, após cerca de 1,26 minutos do início do experimento.

Exercícios relacionados