No instante , a corrente num circuito é nula e cresce até a metade
do seu valor final em 40 s . ) Que do seu valor final em . (a) Qual a constante de tempo deste circuito? b) Se a resistência do circuito for , qual a auto-indutância?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito LR onde, no instante inicial , a corrente é zero e ela cresce até metade do seu valor final em 40 segundos. A matéria que vamos usar aqui é de circuitos elétricos, especificamente sobre como a corrente varia no tempo em um circuito indutivo resistivo (LR). Vamos precisar entender o conceito de constante de tempo ( ) e como relacionar a resistência ( ) e a indutância ( ) para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) que pede para encontrar a constante de tempo ( ) do circuito.
Quando a corrente em um circuito LR cresce no tempo, ela segue a equação:
Aqui, é a corrente no tempo , é a corrente final que o circuito alcança após um tempo suficientemente longo, e é a constante de tempo do circuito.
No nosso caso, sabemos que em segundos, a corrente é metade de :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos o termo exponencial:
Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:
Cancelando os sinais negativos:
Finalmente, isolamos :
Calculando numericamente:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) que pede para encontrar a autoindutância ( ) do circuito, dado que a resistência ( ) é .
Sabemos que a constante de tempo ( ) em um circuito LR é dada por:
Já encontramos e . Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

a) A constante de tempo do circuito é aproximadamente segundos.
b) A autoindutância do circuito é .

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