No instante
, a corrente num circuito
é nula e cresce até a metade
do seu valor final em 40 s .
) Que do seu valor final em
. (a) Qual a constante de tempo deste circuito? b) Se a resistência do circuito for
, qual a auto-indutância?
do seu valor final em 40 s .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito LR onde, no instante inicial
, a corrente é zero e ela cresce até metade do seu valor final em 40 segundos. A matéria que vamos usar aqui é de circuitos elétricos, especificamente sobre como a corrente varia no tempo em um circuito indutivo resistivo (LR). Vamos precisar entender o conceito de constante de tempo (
) e como relacionar a resistência (
) e a indutância (
) para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) que pede para encontrar a constante de tempo (
) do circuito.
Quando a corrente em um circuito LR cresce no tempo, ela segue a equação:
Aqui,
é a corrente no tempo
,
é a corrente final que o circuito alcança após um tempo suficientemente longo, e
é a constante de tempo do circuito.
No nosso caso, sabemos que em
segundos, a corrente é metade de
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos o termo exponencial:
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Finalmente, isolamos
:
Calculando numericamente:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b) que pede para encontrar a autoindutância (
) do circuito, dado que a resistência (
) é
.
Sabemos que a constante de tempo (
) em um circuito LR é dada por:
Já encontramos
e
. Queremos encontrar
, então rearranjamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A constante de tempo do circuito é aproximadamente
segundos.
b) A autoindutância do circuito é
.