No instante t=0, a corrente num circuito L R é nula e cresce até a metade
do seu valor final em 40 s . a ) Que do seu valor final em 4,0 s. (a) Qual a constante de tempo deste circuito? b) Se a resistência do circuito for 5 Omega, qual a auto-indutância?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito LR onde, no instante inicial , a corrente é zero e ela cresce até metade do seu valor final em 40 segundos. A matéria que vamos usar aqui é de circuitos elétricos, especificamente sobre como a corrente varia no tempo em um circuito indutivo resistivo (LR). Vamos precisar entender o conceito de constante de tempo ( ) e como relacionar a resistência ( ) e a indutância ( ) para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) que pede para encontrar a constante de tempo ( I(t) = Ifinal (1 - e^-t/tau) ) do circuito.
Quando a corrente em um circuito LR cresce no tempo, ela segue a equação:
Ifinal2 = Ifinal (1 - e^-40/tau)
Aqui, 12 = 1 - e^-40/tau é a corrente no tempo e^-40/tau = 1 - 12 = 12 , - 40tau = ln(12) é a corrente final que o circuito alcança após um tempo suficientemente longo, e - 40tau = -ln(2) é a constante de tempo do circuito.
No nosso caso, sabemos que em 40tau = ln(2) segundos, a corrente é metade de tau = 40ln(2) :
tau approx 400,693 approx 57,6 , segundos
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos o termo exponencial:
Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:
Cancelando os sinais negativos:
Finalmente, isolamos :
Calculando numericamente:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) que pede para encontrar a autoindutância ( tau = LR ) do circuito, dado que a resistência ( L = tau times R ) é L = 57,6 , s times 5 , Omega = 288 , H .
Sabemos que a constante de tempo ( ) em um circuito LR é dada por:
Já encontramos e . Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

a) A constante de tempo do circuito é aproximadamente segundos.
b) A autoindutância do circuito é .

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