Um instituto de pesquisa avaliou amostras de leite fornecidas de fazendas da região. Solicitaram-se amostras de leite de diferentes tipos e o teor de gordura foi medido, classificando-o em uma das três categorias: alto, médio e baixo dadas na tabela abaixo. Verifique se o teor de gordura depende do tipo de leite com nível de significância de 0,05.
Tipo | Teor | ||
---|---|---|---|
Alto | Médio | Baixo | |
|
51 | 33 | 16 |
|
58 | 29 | 13 |
|
38 | 22 | 40 |
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para verificar se o teor de gordura do leite (alto, médio, baixo) depende do tipo de leite (Tipo 1, 2 ou 3). Isso envolve estatística, mais especificamente o teste do qui-quadrado de independência, que vai ajudar a ver se existe uma relação entre duas variáveis categóricas. Precisaremos dos valores observados na tabela e usar algumas fórmulas para calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): O teor de gordura é independente do tipo de leite.
- Hipótese Alternativa (H₁): O teor de gordura depende do tipo de leite.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores esperados para cada célula da tabela se H₀ for verdadeira. A fórmula para o valor esperado é:
Vamos somar as linhas e colunas:
- Totais por tipo de leite:
- Tipo 1: 51 + 33 + 16 = 100
- Tipo 2: 58 + 29 + 13 = 100
- Tipo 3: 38 + 22 + 40 = 100
- Totais por teor de gordura:
- Alto: 51 + 58 + 38 = 147
- Médio: 33 + 29 + 22 = 84
- Baixo: 16 + 13 + 40 = 69
- Total geral: 147 + 84 + 69 = 300
Agora, calculamos os valores esperados para cada célula. Por exemplo, para Tipo 1 e Alto:
Fazemos isso para todas as células.
Passo 4
Com os valores esperados calculados, vamos usar a fórmula do teste do qui-quadrado:
Onde
são os valores observados e
os valores esperados. Calculamos isso para cada célula e somamos todos os resultados.
Passo 5
Depois de calcular o
, precisamos compará-lo com o valor crítico da distribuição qui-quadrado para o nosso nível de significância (
) e os graus de liberdade. Os graus de liberdade para uma tabela
são:
No nosso caso,
e
, então
. Consultando a tabela do qui-quadrado, o valor crítico para
e
é aproximadamente 9,488.
Passo 6
Se o
calculado for maior que 9,488, rejeitamos a hipótese nula. Caso contrário, não rejeitamos.
Resposta
Após os cálculos, o
obtido foi maior que 9,488. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que o teor de gordura do leite depende do tipo de leite, com um nível de significância de 0,05.