Passo 1

Beleza, vamos resolver essas três integrais que têm expressões do tipo . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, mais especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender como fazer substituições inteligentes para simplificar a integral e chegar à solução final.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
Passo 2.1: Primeiramente, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
Então, a derivada de em relação a é:
Passo 2.2: Substituindo na integral original:
Passo 2.3: Agora, vamos integrar :
Passo 2.4: Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral:
Passo 3.1: Para essa integral, uma boa estratégia é usar substituição trigonométrica ou hiperbólica, mas vamos optar por uma substituição direta. Deixe:
Passo 3.2: Calculando a derivada de :
Passo 3.3: Resolvendo para :
Passo 3.4: Substituindo na integral:
Isso simplifica para:
Após simplificações adicionais, chegamos à integral:

Passo 4

Por fim, vamos resolver a terceira integral:
Passo 4.1: Vamos usar a substituição que já conhecemos:
Passo 4.2: Reescrevendo a integral em termos de :
Mas , então . Substituindo:
Passo 4.3: Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes ou substituições adicionais, resultando em:

Resposta

As integrais resolvidas são:

Exercícios relacionados

Dentre os materiais listados abaixo, qual deles é sintético?
a) Madeira
b) Argila
c) Couro
d) Liga metálica
e) Látex de seringueira
As estruturas estão submetidas a diversos esforços solicitantes. Estes esforços podem ser forças concentradas, cargas distribuidas, momentos, entre outros. O engenheiro deve tomar conhecimentos dessas cargas atuantes, prevendo o seu efeito no projeto através da análise estrutural.
Considerando esse contexto, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. O momento de uma força expressa a tendência de provocar rotação de um corpo em relação a um ponto ou eixo.
PORQUE
II. Quanto menor a força ou o braço de alavanca, maior o efeito da rotação.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e) As asserções I e II são proposições falsas.
(2 pontos)
Identifique os processos abaixo que correspondem à:
(A) Ciência dos Materiais
(B) Engenharia de Materiais
( ) Descoberta e identificação dos elementos químicos
( ) Identificação das formas alotrópicas das substâncias elementares
( ) Elaboração de misturas metálicas (ligas) para a obtenção de propriedades úteis
( ) Realização de testes com os materiais, para descobrir suas propriedades
( ) Utilizar medições de propriedades de materiais para controlar sua qualidade
a)
b)
c)
d)
e)
Correlacione os materiais de engenharia abaixo com as suas classes:
(A) Metálico
(B) Cerâmico
© Polimérico
(D) Compósito
( ) Latão (liga de cobre e zinco)
( ) PVC
( ) Porcelanato
( ) Borracha vulcanizada
( ) Resina de poliéster reforçada com fibras de vidro
a)
b)
c)
d)
e)