Passo 1
Beleza, vamos resolver essas três integrais que têm expressões do tipo
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, mais especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender como fazer substituições inteligentes para simplificar a integral e chegar à solução final.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Passo 2.1: Primeiramente, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 2.2: Substituindo na integral original:
Passo 2.3: Agora, vamos integrar
:
Passo 2.4: Substituindo
de volta:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda integral:
Passo 3.1: Para essa integral, uma boa estratégia é usar substituição trigonométrica ou hiperbólica, mas vamos optar por uma substituição direta. Deixe:
Passo 3.2: Calculando a derivada de
:
Passo 3.3: Resolvendo para
:
Passo 3.4: Substituindo na integral:
Isso simplifica para:
Após simplificações adicionais, chegamos à integral:
Passo 4
Por fim, vamos resolver a terceira integral:
Passo 4.1: Vamos usar a substituição que já conhecemos:
Passo 4.2: Reescrevendo a integral em termos de
:
Mas
, então
. Substituindo:
Passo 4.3: Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes ou substituições adicionais, resultando em:
Resposta
As integrais resolvidas são: