Integral de sen ³ x dx

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular a integral de sin^3 x , dx. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente na técnica de integração de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a expressão sin^3 x de uma forma que facilite a integração. Podemos escrever sin^3 x como sin x cdot sin^2 x.

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica sin^2 x = 1 - cos^2 x para substituir sin^2 x na expressão:
sin^3 x = sin x (1 - cos^2 x)

Passo 4

Distribuindo a sin x, temos:
sin^3 x = sin x - sin x cos^2 x

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral sin^3 x , dx = integral sin x , dx - integral sin x cos^2 x , dx

Passo 6

A primeira integral é simples:
integral sin x , dx = -cos x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver a segunda integral integral sin x cos^2 x , dx, fazemos uma substituição. Vamos definir u = cos x, então:
du = -sin x , dx implies -du = sin x , dx

Passo 8

Substituindo na integral:
integral sin x cos^2 x , dx = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3 x3 + C

Passo 9

Agora, juntamos as duas partes da integral:
integral sin^3 x , dx = -cos x - (-cos^3 x3) + C = -cos x + cos^3 x3 + C

Resposta

A integral de sin^3 x , dx é:
integral sin^3 x , dx = -cos x + cos^3 x3 + C

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