Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um poliedro convexo que tem 32 faces: 20 são hexágonos e 12 são pentágonos. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos vértices esse poliedro tem. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que relaciona vértices, arestas e faces de uma figura 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de Euler:
V - E + F = 2
Aqui:
  • $ V $ é o número de vértices,
  • $ E $ é o número de arestas,
  • $ F $ é o número de faces.
Sabemos que $ F = 32 $ (20 hexágonos + 12 pentágonos).

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o número de arestas ($ E $). Para isso, vamos calcular quantas arestas cada tipo de face tem:
  • Cada hexágono tem 6 arestas.
  • Cada pentágono tem 5 arestas.
Então, o total de arestas somadas por todas as faces seria:
E
Mas lembra que cada aresta é compartilhada por duas faces, então precisamos dividir esse total por 2:
Total de arestas = (20 times 6) + (12 times 5) = 120 + 60 = 180

Passo 4

Agora que temos $ E = 90 $ e $ F = 32 $, vamos voltar para a fórmula de Euler e resolver para $ V $:
E = 90
Simplificando:
F = 32
V
V - 90 + 32 = 2

Resposta

O poliedro tem 60 vértices.

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