Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono é?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um poliedro convexo que tem 32 faces: 20 são hexágonos e 12 são pentágonos. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos vértices esse poliedro tem. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que relaciona vértices, arestas e faces de uma figura 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de Euler:
Aqui:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.
Sabemos que $ F = 32 $ (20 hexágonos + 12 pentágonos).
Passo 3
Agora, precisamos descobrir o número de arestas ($ E $). Para isso, vamos calcular quantas arestas cada tipo de face tem:
- Cada hexágono tem 6 arestas.
- Cada pentágono tem 5 arestas.
Então, o total de arestas somadas por todas as faces seria:
Mas lembra que cada aresta é compartilhada por duas faces, então precisamos dividir esse total por 2:
Passo 4
Agora que temos $ E = 90 $ e $ F = 32 $, vamos voltar para a fórmula de Euler e resolver para $ V $:
Simplificando:
Resposta
O poliedro tem 60 vértices.