integral e^1 / xx^3 d x

Passo 1

Então, a gente precisa resolver a integral . Vamos usar conceitos de substituição em integrais, que ajuda a simplificar expressões complicadas. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = 1x Rightarrow du = -1x^2 , dx . Dessa forma, precisamos encontrar o diferencial dx = -x^2 , du .
Sabemos que:
Rearranjando para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos substituir x^3 = (1u)^3 = 1u^3 e integral e^ux^3 , dx = integral e^u1u^3 cdot (-x^2 , du) = -integral e^u cdot u^3 cdot x^2 , du na integral original. Também precisamos expressar - integral e^u cdot u^3 cdot 1u^2 , du = - integral e^u cdot u , du em termos de . Sabemos que , então:
Substituindo tudo na integral:
Mas , então:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral v = u Rightarrow dv = du dw = e^u , du Rightarrow w = e^u . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos partes da função para derivar e integrar.
Escolhemos:
integral v , dw = v w - integral w , dv
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Então:
- integral u e^u , du = -u e^u + e^u + C = e^u (1 - u) + C
Multiplicando pelo sinal negativo:

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original e^u (1 - u) + C = e^1/x (1 - 1x) + C . Lembramos que , então substituindo:

Resposta

A integral é .

Exercícios relacionados