Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a integral indefinida da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, e vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função sem o
, já que ele representa a constante de integração que vamos adicionar no final:
Passo 3
Vamos quebrar essa integral em partes menores para facilitar a resolução:
Passo 4
Começamos com a primeira integral: . Para resolver isso, usamos a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos
e . Então, calculamos
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A integral que sobra é fácil de resolver:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda integral:
. Novamente, usamos integração por partes. Escolhemos
e
. Então,
e .
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Olha só, temos de novo a integral , que já resolvemos no Passo 5. Substituindo:
Passo 8
A última integral é
, que já resolvemos:
Passo 9
Agora, juntamos todas as partes que resolvemos:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral indefinida é .
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