Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a integral indefinida da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, e vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função sem o , já que ele representa a constante de integração que vamos adicionar no final:

Passo 3

Vamos quebrar essa integral em partes menores para facilitar a resolução:

Passo 4

Começamos com a primeira integral: . Para resolver isso, usamos a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos e . Então, calculamos e .

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
A integral que sobra é fácil de resolver:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral: . Novamente, usamos integração por partes. Escolhemos e . Então, e .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
Olha só, temos de novo a integral , que já resolvemos no Passo 5. Substituindo:

Passo 8

A última integral é , que já resolvemos:

Passo 9

Agora, juntamos todas as partes que resolvemos:
Simplificando os termos:

Resposta

A integral indefinida é .

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