Interprete cada caso a seguir para obter a equação diferencial mais simplificada que descreve o perfil de temperatura em um sólido.
a) Têmpera de eixos simétricos radialmente.
a) Têmpera de eixos simétricos radialmente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para interpretar um caso específico de têmpera, onde os eixos são simétricos radialmente, e a partir disso, obter a equação diferencial mais simples que descreve o perfil de temperatura em um sólido. Para resolver isso, vamos precisar entender a condução de calor em coordenadas cilíndricas com simetria radial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a condução de calor é descrita pela equação de Fourier. Quando analisamos a difusão de calor em coordenadas cilíndricas com simetria radial, a equação se adapta para considerar apenas a variação na direção radial, já que não há variação nas direções angular ou ao longo do eixo.
Passo 3
A equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas é:
Onde:
-
é a temperatura, -
é o tempo, -
, , são as coordenadas cilíndricas, -
é a difusividade térmica.
Passo 4
Como estamos considerando simetria radial, isso significa que não há variação de temperatura nas direções angular (
) e axial (
). Portanto, as derivadas parciais em relação a
e
são zero. Assim, a equação simplifica para:
Passo 5
Vamos simplificar ainda mais a equação. Expandindo a derivada dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 6
Esta é a equação diferencial simplificada que descreve o perfil de temperatura em um sólido com simetria radial durante o processo de têmpera. Ela mostra como a temperatura varia no tempo e na direção radial, levando em conta a difusão de calor.
Resposta
A equação diferencial simplificada é:
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