Interprete cada caso a seguir para obter a equação diferencial mais simplificada que descreve o perfil de temperatura em um sólido.
a) Têmpera de eixos simétricos radialmente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para interpretar um caso específico de têmpera, onde os eixos são simétricos radialmente, e a partir disso, obter a equação diferencial mais simples que descreve o perfil de temperatura em um sólido. Para resolver isso, vamos precisar entender a condução de calor em coordenadas cilíndricas com simetria radial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a condução de calor é descrita pela equação de Fourier. Quando analisamos a difusão de calor em coordenadas cilíndricas com simetria radial, a equação se adapta para considerar apenas a variação na direção radial, já que não há variação nas direções angular ou ao longo do eixo.

Passo 3

A equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas é:
partial Tpartial t = alpha ( 1r partialpartial r(r partial Tpartial r) + 1r^2 partial^2 Tpartial theta^2 + partial^2 Tpartial z^2 )
Onde:
  • é a temperatura,
  • é o tempo,
  • , , são as coordenadas cilíndricas,
  • é a difusividade térmica.

Passo 4

Como estamos considerando simetria radial, isso significa que não há variação de temperatura nas direções angular ( partial Tpartial t = alpha ( 1r partialpartial r(r partial Tpartial r) ) ) e axial ( ). Portanto, as derivadas parciais em relação a e são zero. Assim, a equação simplifica para:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a equação. Expandindo a derivada dentro dos parênteses:
partial Tpartial t = alpha ( 1r ( r partial^2 Tpartial r^2 + partial Tpartial r ) )
Simplificando:
partial Tpartial t = alpha ( partial^2 Tpartial r^2 + 1r partial Tpartial r )

Passo 6

Esta é a equação diferencial simplificada que descreve o perfil de temperatura em um sólido com simetria radial durante o processo de têmpera. Ela mostra como a temperatura varia no tempo e na direção radial, levando em conta a difusão de calor.

Resposta

A equação diferencial simplificada é:
partial Tpartial t = alpha ( partial^2 Tpartial r^2 + 1r partial Tpartial r )

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