Um inventor afirma ter desenvolvido um dispositivo que, mesmo não necessitando de transferência de energia sob a forma de trabalho ou calor, permite a produção de ar quente e frio a partir da captação única do ar a uma temperatura intermediária. O inventor fornece dados de testes em regime permanente que indicam que quando o ar é admitido a uma velocidade de
numa temperatura de
e na pressão de
bar. O ar é descarregado em duas correntes: uma fria a
e outra quente a
, ambas a uma pressão de
bar e com velocidade de
. O ar, assumido como gás ideal com capacidades caloríficas constante, sendo
igual à
.
Saida fria
bar determine a
(a) Utilizando o modelo de gás ideal e desprezando as variações de energia potencial das correntes de admissão e descarga, fração da massa admitida no dispositivo que é descarregada na temperatura inferior.
Saida fria
(a) Utilizando o modelo de gás ideal e desprezando as variações de energia potencial das correntes de admissão e descarga, fração da massa admitida no dispositivo que é descarregada na temperatura inferior.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com termodinâmica, mais especificamente com fluídos e fluxo de massa e energia. O inventor criou um dispositivo que separa o ar em duas correntes, uma fria e outra quente, sem adicionar energia externa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual fração da massa do ar que entra no dispositivo sai na corrente fria. Para isso, vamos precisar usar a equação de conservação de massa e a primeira lei da termodinâmica aplicada a sistemas em regime permanente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
-
Entrada:
- Temperatura, $ T_1 = 20^{\circ} \mathrm{C} $ (ou 293 K)
- Pressão, $ P_{entrada} = 5,1 $ bar (mas como as saídas estão a 1 bar, vamos considerar o balanço de pressão ao final)
- Velocidade, $ v_1 = 10 , \mathrm{m/s} $
-
Saídas:
- Corrente fria:
- Temperatura, $ T_3 = -17^{\circ} \mathrm{C} $ (ou 256 K)
- Pressão, $ P_{saida} = 1,0 $ bar
- Velocidade, $ v_3 = 7 , \mathrm{m/s} $
- Corrente quente:
- Temperatura, $ T_4 = 80^{\circ} \mathrm{C} $ (ou 353 K)
- Pressão, $ P_{saida} = 1,0 $ bar
- Velocidade, $ v_4 = 7 , \mathrm{m/s} $
- Corrente fria:
Além disso, nos é dado que o ar é um gás ideal com $ C/R = 7/2 $.
Passo 3
Vamos aplicar a conservação de massa primeiro. Isso significa que a massa que entra no dispositivo deve ser igual à soma das massas que saem pelas duas correntes. Se chamarmos $ \dot{m} $ de massa total que entra, $ \dot{m}_3 $ da massa que sai pela corrente fria e $ \dot{m}_4 $ da massa que sai pela corrente quente, temos:
Vamos assumir que o fluxo de massa é constante.
Passo 4
Agora, vamos utilizar a primeira lei da termodinâmica para fluxo de massa, que relaciona a entalpia e a energia cinética das correntes. A equação geral é:
Onde $ h $ é a entalpia específica, que para um gás ideal pode ser escrita como $ h = C_p T $. Como temos $ C/R = 7/2 $, podemos encontrar $ C_p $.
Passo 5
Para um gás ideal, a relação entre $ C_p $ e $ C_v $ é:
E também, sabemos que:
Portanto, $ C_p = \frac{7}{2} R $.
Passo 6
Substituindo $ h = C_p T $ na equação da primeira lei:
Passo 7
Vamos dividir toda a equação por $ \dot{m}_1 $ para simplificar, já que $ \dot{m} = \dot{m}_1 $. Assim, temos:
Sabemos que $ \frac{\dot{m}_3}{\dot{m}} = y $ (fração da massa fria) e $ \frac{\dot{m}_4}{\dot{m}} = 1 - y $.
Passo 8
Substituindo essas relações na equação:
Agora, vamos isolar $ y $.
Passo 9
Rearranjando a equação para resolver $ y $:
Passo 10
Vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, precisamos converter todas as temperaturas para Kelvin:
Assumindo $ R = 287 , \mathrm{J/(kg \cdot K)} $ para o ar.
Passo 11
Substituindo os valores na equação de $ y $:
Passo 12
Calculando os termos numéricos:
Primeiro, vamos calcular cada parte:
Passo 13
Substituindo de volta na equação de $ y $:
Resposta
A fração da massa admitida que é descarregada na temperatura inferior é aproximadamente 61,2%.