Um inventor afirma ter desenvolvido um dispositivo que, mesmo não necessitando de transferência de energia sob a forma de trabalho ou calor, permite a produção de ar quente e frio a partir da captação única do ar a uma temperatura intermediária. O inventor fornece dados de testes em regime permanente que indicam que quando o ar é admitido a uma velocidade de 10 m / s numa temperatura de 20^circ C e na pressão de 5,1 bar. O ar é descarregado em duas correntes: uma fria a -17^circ C e outra quente a 80^circ C, ambas a uma pressão de 1 bar e com velocidade de 7 m / s. O ar, assumido como gás ideal com capacidades caloríficas constante, sendo C / R igual à 7 / 2.
Saida fria T3=-17^circ C P1=1,0 bar determine a
(a) Utilizando o modelo de gás ideal e desprezando as variações de energia potencial das correntes de admissão e descarga, fração da massa admitida no dispositivo que é descarregada na temperatura inferior.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com termodinâmica, mais especificamente com fluídos e fluxo de massa e energia. O inventor criou um dispositivo que separa o ar em duas correntes, uma fria e outra quente, sem adicionar energia externa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual fração da massa do ar que entra no dispositivo sai na corrente fria. Para isso, vamos precisar usar a equação de conservação de massa e a primeira lei da termodinâmica aplicada a sistemas em regime permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • Entrada:
    • Temperatura, $ T_1 = 20^{\circ} \mathrm{C} $ (ou 293 K)
    • Pressão, $ P_{entrada} = 5,1 $ bar (mas como as saídas estão a 1 bar, vamos considerar o balanço de pressão ao final)
    • Velocidade, $ v_1 = 10 , \mathrm{m/s} $
  • Saídas:
    • Corrente fria:
      • Temperatura, $ T_3 = -17^{\circ} \mathrm{C} $ (ou 256 K)
      • Pressão, $ P_{saida} = 1,0 $ bar
      • Velocidade, $ v_3 = 7 , \mathrm{m/s} $
    • Corrente quente:
      • Temperatura, $ T_4 = 80^{\circ} \mathrm{C} $ (ou 353 K)
      • Pressão, $ P_{saida} = 1,0 $ bar
      • Velocidade, $ v_4 = 7 , \mathrm{m/s} $
Além disso, nos é dado que o ar é um gás ideal com $ C/R = 7/2 $.

Passo 3

Vamos aplicar a conservação de massa primeiro. Isso significa que a massa que entra no dispositivo deve ser igual à soma das massas que saem pelas duas correntes. Se chamarmos $ \dot{m} $ de massa total que entra, $ \dot{m}_3 $ da massa que sai pela corrente fria e $ \dot{m}_4 $ da massa que sai pela corrente quente, temos:
dotm
Vamos assumir que o fluxo de massa é constante.

Passo 4

Agora, vamos utilizar a primeira lei da termodinâmica para fluxo de massa, que relaciona a entalpia e a energia cinética das correntes. A equação geral é:
dotm1 h1 + 12 dotm1 v1^2 = dotm3 h3 + 12 dotm3 v3^2 + dotm4 h4 + 12 dotm4 v4^2
Onde $ h $ é a entalpia específica, que para um gás ideal pode ser escrita como $ h = C_p T $. Como temos $ C/R = 7/2 $, podemos encontrar $ C_p $.

Passo 5

Para um gás ideal, a relação entre $ C_p $ e $ C_v $ é:
Cp
E também, sabemos que:
Cv
Portanto, $ C_p = \frac{7}{2} R $.

Passo 6

Substituindo $ h = C_p T $ na equação da primeira lei:
h = Cp T

Passo 7

Vamos dividir toda a equação por $ \dot{m}_1 $ para simplificar, já que $ \dot{m} = \dot{m}_1 $. Assim, temos:
dotm1
Sabemos que $ \frac{\dot{m}_3}{\dot{m}} = y $ (fração da massa fria) e $ \frac{\dot{m}_4}{\dot{m}} = 1 - y $.

Passo 8

Substituindo essas relações na equação:
72 R T1 + 12 v1^2 = y ( 72 R T3 + 12 v3^2 ) + (1 - y) ( 72 R T4 + 12 v4^2 )
Agora, vamos isolar $ y $.

Passo 9

Rearranjando a equação para resolver $ y $:
y

Passo 10

Vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, precisamos converter todas as temperaturas para Kelvin:
T1 = 20 + 273 = 293 , K
T3 = -17 + 273 = 256 , K
T4 = 80 + 273 = 353 , K
Assumindo $ R = 287 , \mathrm{J/(kg \cdot K)} $ para o ar.

Passo 11

Substituindo os valores na equação de $ y $:
y

Passo 12

Calculando os termos numéricos:
Primeiro, vamos calcular cada parte:
72 times 287 times 293 = 72 times 287 times 293 approx 7 times 143.5 times 293 approx 7 times 42,083.5 approx 294,585 , J/kg
12 times 10^2 = 50 , J/kg
72 times 287 times 353 approx 7 times 143.5 times 353 approx 7 times 50,695.5 approx 354,868.5 , J/kg
12 times 7^2 = 24.5 , J/kg
72 times 287 times 256 approx 7 times 143.5 times 256 approx 7 times 36,656 approx 256,592 , J/kg

Passo 13

Substituindo de volta na equação de $ y $:
y
y = 294,585 + 50 - (354,868.5 + 24.5) 256,592 + 24.5 - (354,868.5 + 24.5)
y = 294,635 - 354,893256,616.5 - 354,893

Resposta

A fração da massa admitida que é descarregada na temperatura inferior é aproximadamente 61,2%.

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