Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
integral0^1[integralx^x+3 f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla que precisa inverter a ordem de integração e, depois, calcular a área da região onde estamos integrando. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente sobre como mudar a ordem das integrais e encontrar áreas usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. Olhando para a integral dada:
integral0^1[integralx^x+3 f(x, y) , dy] dx
Isso significa que o valor de varia de 0 a 1, e para cada , o valor de varia de até . Então, estamos integrando sobre uma faixa no plano onde depende de .

Passo 3

Agora, vamos desenhar mentalmente essa região. Para entre 0 e 1:
  • A linha inferior da região é .
  • A linha superior da região é .
Então, nossa região de integração é um retângulo inclinado que se estende de até , entre e .

Passo 4

Vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos reescrever os limites de integração:
  • Primeiro, determinamos os limites de . Como varia de 0 a 1 e de a , o valor mínimo de é 0 (quando ) e o máximo é 4 (quando ).
  • Para um valor fixo de , varia de até , mas precisamos garantir que esteja entre 0 e 1.

Passo 5

Então, a nova integral com a ordem invertida fica:
integral0^4[integralmax(0, y-3)^min(1, y) f(x, y) , dx] dy
Nesse caso específico, como varia de 0 a 4, os limites para simplificam para:
  • De a , mas considerando que está entre 0 e 1, ajustamos os limites conforme necessário.

Passo 6

Agora, para calcular a área da região de integração, vamos assumir que integral0^1[integralx^x+3 1 , dy] dx, já que a área é simplesmente a integral dupla de 1 sobre a região.
Então, a integral para a área fica:

Passo 7

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em integralx^x+3 1 , dy = y |x^x+3 = (x + 3) - x = 3:

Passo 8

Agora, integramos o resultado em integral0^1 3 , dx = 3x |0^1 = 3(1) - 3(0) = 3:

Resposta

A área da região de integração é 3 unidades quadradas.

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