Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla que precisa inverter a ordem de integração e, depois, calcular a área da região onde estamos integrando. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente sobre como mudar a ordem das integrais e encontrar áreas usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. Olhando para a integral dada:
Isso significa que o valor de varia de 0 a 1, e para cada , o valor de varia de até . Então, estamos integrando sobre uma faixa no plano onde depende de .
Passo 3
Agora, vamos desenhar mentalmente essa região. Para entre 0 e 1:
A linha inferior da região é .
A linha superior da região é .
Então, nossa região de integração é um retângulo inclinado que se estende de até , entre e .
Passo 4
Vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos reescrever os limites de integração:
Primeiro, determinamos os limites de . Como varia de 0 a 1 e de a , o valor mínimo de é 0 (quando ) e o máximo é 4 (quando ).
Para um valor fixo de , varia de até , mas precisamos garantir que esteja entre 0 e 1.
Passo 5
Então, a nova integral com a ordem invertida fica:
Nesse caso específico, como varia de 0 a 4, os limites para simplificam para:
De a , mas considerando que está entre 0 e 1, ajustamos os limites conforme necessário.
Passo 6
Agora, para calcular a área da região de integração, vamos assumir que , já que a área é simplesmente a integral dupla de 1 sobre a região.
Então, a integral para a área fica:
Passo 7
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em :
Passo 8
Agora, integramos o resultado em integral0^1 3 , dx = 3x |0^1 = 3(1) - 3(0) = 3:
Resposta
A área da região de integração é 3 unidades quadradas.