Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Passo 1
Beleza, você quer que a gente estude se a função
é diferenciável. Isso envolve entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa propriedade se aplica à função dada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais e analisar a continuidade delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se essas derivadas são contínuas perto desse ponto. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. As funções exponenciais são contínuas em todo o seu domínio, e multiplicar por polinômios (como
) também preserva a continuidade. Portanto, ambas as derivadas parciais
e
são contínuas em todo o plano
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem em todos os pontos e são contínuas, podemos concluir, segundo o critério de diferenciabilidade para funções de várias variáveis, que a função
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o seu domínio
.
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Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.