Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
f(x, y) = e^(y - x^2)

Passo 1

Beleza, você quer que a gente estude se a função é diferenciável. Isso envolve entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se essa propriedade se aplica à função dada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais e analisar a continuidade delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se essas derivadas são contínuas perto desse ponto. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. As funções exponenciais são contínuas em todo o seu domínio, e multiplicar por polinômios (como ) também preserva a continuidade. Portanto, ambas as derivadas parciais e são contínuas em todo o plano .

Passo 5

Como as derivadas parciais de existem em todos os pontos e são contínuas, podemos concluir, segundo o critério de diferenciabilidade para funções de várias variáveis, que a função é diferenciável em todo o seu domínio.

Resposta

A função é diferenciável em todo o seu domínio .

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