Um investimento financeiro rende 1% ao mês, em regime de juros compostos. Décio aplicou R 1 200,00 nesse investimento Considerando 1,0110 ≊ 1,105, determine o valor líquido que caberá a Décio, se e<= fizer o resgate: a) após 10 meses; b) após 20 meses Calcu<= a função exponencial associada à PG (4, 12, 36, 108, ) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 12% ao mês e >=rou, em três meses, um montante de Ríáéóóçãà 53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre juros compostos. O objetivo é calcular quanto Décio vai ter após investir R$1.200,00 com uma taxa de 1% ao mês. A gente vai precisar usar a fórmula dos juros compostos e entender como as parcelas se comportam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto Décio terá após 10 meses. A fórmula dos juros compostos é:
M = C times (1 + i)^n
Onde:
  • $ M $ é o montante final,
  • $ C $ é o capital inicial (R$1.200,00),
  • $ i $ é a taxa de juros mensal (1% ou 0,01),
  • $ n $ é o número de meses (10).
Então:
M

Passo 3

Agora, vamos ver quanto Décio terá após 20 meses. Usando a mesma fórmula:
M = 1200 times (1 + 0,01)^20
Primeiro, calculamos $ (1 + 0,01)^{20} $. Um jeito fácil é saber que $ (1,01)^{10} \approx 1,105 $, então:
(1 + 0,01)^20
Então:
(1,01)^10 approx 1,105

Passo 4

Agora, vamos calcular a função exponencial associada à Progressão Geométrica (P.G.) dada pela sequência (4, 12, 36, 108, …).
Observamos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 3. Então, a razão $ r = 3 $. A fórmula geral da P.G. é:
r = 3
Onde $ a_1 = 4 $. Portanto, a função exponencial é:
an = a1 times r^(n-1)

Passo 5

Por último, temos um capital $ C $ investido a 12% ao mês em juros compostos que, após 3 meses, gera um montante de R$53.240,00. Queremos encontrar $ C $.
Usando a fórmula dos juros compostos:
C
Sabemos que $ M = 53240 $, $ i = 0,12 $, e $ n = 3 $. Então:
53.240,00 Queremos encontrar
Primeiro, calculamos $ (1 + 0,12)^3 $:
Usando a fórmula dos juros compostos:
Então:
M = C times (1 + i)^n

Resposta

a) Após 10 meses, Décio terá aproximadamente R$1.326,00.
b) Após 20 meses, Décio terá aproximadamente R$1.465,20.
A função exponencial associada à P.G. (4, 12, 36, 108, …) é $ a_n = 4 \times 3^{(n-1)} $.
O capital inicial $ C $ era de aproximadamente R$37.880,00.

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