Um investimento financeiro rende 1% ao mês, em regime de juros compostos. Décio aplicou R
53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre juros compostos. O objetivo é calcular quanto Décio vai ter após investir R$1.200,00 com uma taxa de 1% ao mês. A gente vai precisar usar a fórmula dos juros compostos e entender como as parcelas se comportam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto Décio terá após 10 meses. A fórmula dos juros compostos é:
Onde:
- $ M $ é o montante final,
- $ C $ é o capital inicial (R$1.200,00),
- $ i $ é a taxa de juros mensal (1% ou 0,01),
- $ n $ é o número de meses (10).
Então:
Passo 3
Agora, vamos ver quanto Décio terá após 20 meses. Usando a mesma fórmula:
Primeiro, calculamos $ (1 + 0,01)^{20} $. Um jeito fácil é saber que $ (1,01)^{10} \approx 1,105 $, então:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a função exponencial associada à Progressão Geométrica (P.G.) dada pela sequência (4, 12, 36, 108, …).
Observamos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 3. Então, a razão $ r = 3 $. A fórmula geral da P.G. é:
Onde $ a_1 = 4 $. Portanto, a função exponencial é:
Passo 5
Por último, temos um capital $ C $ investido a 12% ao mês em juros compostos que, após 3 meses, gera um montante de R$53.240,00. Queremos encontrar $ C $.
Usando a fórmula dos juros compostos:
Sabemos que $ M = 53240 $, $ i = 0,12 $, e $ n = 3 $. Então:
Primeiro, calculamos $ (1 + 0,12)^3 $:
Então:
Resposta
a) Após 10 meses, Décio terá aproximadamente R$1.326,00.
b) Após 20 meses, Décio terá aproximadamente R$1.465,20.
A função exponencial associada à P.G. (4, 12, 36, 108, …) é $ a_n = 4 \times 3^{(n-1)} $.
O capital inicial $ C $ era de aproximadamente R$37.880,00.