Isopódios, ou tatuzinhos, usam o musgo, samambaja e até hera venenosa como abrigo. Alguns cientistas acreditam que o abrigo natural preferido é o trevo vermelho, e que a densidade de tatuzinhos pode ser predita por intermédio da densidade dos trevos vermelhos. Obteve-se uma amostra aleatória de campos. Registraram-se o número de plantas de trevo vermelho por metro quadrado ( x) e o número de tatuzinhos por metro quadrado ( y) para cada campo. Os dados são apresentados a seguir:
lllllllllll hline$x$ & 5,9 & 3,6 & 8,8 & 11,7 & 6,3 & 5,0 & 4,5 & 4,9 & 10,4 & 5,0 hline$y$ & 108 & 86 & 103 & 136 & 9 & 4 & 68 & 91 & 101 & 56 hline$x$ & 4,4 & 9,1 & 6,3 & 10,9 & 5,7 & 8,4 & 13,3 & 14,2 & 10,2 & 3,6 hline$y$ & 12 & 136 & 99 & 94 & 145 & 124 & 177 & 259 & 101 & 7 hline 5,9 3,6 8,8 11,7 6,3 5,0 4,5 4,9 10,4 5,0
108 86 103 136 9 4 68 91 101 56
4,4 9,1 6,3 10,9 5,7 8,4 13,3 14,2 10,2 3,6
12 136 99 94 145 124 177 259 101 7
Ache a reta de regressão estimada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a reta de regressão que relaciona a quantidade de trevos vermelhos ( x) com a densidade de tatuzinhos ( y) por metro quadrado. Isso envolve estatística, mais especificamente a regressão linear simples. Para resolver, vamos precisar calcular médias, variâncias e covariâncias para determinar os coeficientes da reta de regressão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados numéricos. Temos uma tabela com valores de x (trevos vermelhos) e y (tatuzinhos). Vamos listar todos os valores:
|c|c| hline x & y hline 5,9 & 108 3,6 & 86 8,8 & 103 11,7 & 136 6,3 & 9 5,0 & 4 4,5 & 68 4,9 & 91 10,4 & 101 5,0 & 56 4,4 & 12 9,1 & 136 6,3 & 99 10,9 & 94 5,7 & 145 8,4 & 124 13,3 & 177 14,2 & 259 10,2 & 101 3,6 & 7 hline

Passo 3

Vamos calcular a média de x e a média de y. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações. Existem 20 observações.
barx = sum xn e bary = sum yn
Calculando:
barx = 5,9 + 3,6 + 8,8 + 11,7 + 6,3 + 5,0 + 4,5 + 4,9 + 10,4 + 5,0 + 4,4 + 9,1 + 6,3 + 10,9 + 5,7 + 8,4 + 13,3 + 14,2 + 10,2 + 3,620
barx = 124,820 = 6,24
bary = 108 + 86 + 103 + 136 + 9 + 4 + 68 + 91 + 101 + 56 + 12 + 136 + 99 + 94 + 145 + 124 + 177 + 259 + 101 + 720
bary = 176620 = 88,3

Passo 4

Agora, precisamos calcular a covariância entre x e y, e a variância de x. Esses cálculos nos ajudarão a encontrar os coeficientes a e b da reta de regressão y = a + b x.
A fórmula da covariância é:
Cov(x,y) = sum (x - barx)(y - bary)n-1
E a variância de x é:
Var(x) = sum (x - barx)^2n-1
Vamos calcular cada termo:
sum (x - barx)(y - bary) = sum x y - n barx bary
sum x y = (5,9)(108) + (3,6)(86) + dots + (3,6)(7) = 5,9 times 108 + 3,6 times 86 + dots + 3,6 times 7
sum x y = 637,2 + 309,6 + 914,4 + 1579,2 + 56,7 + 20 + 306 + 445,9 + 1052,4 + 280 + 52,8 + 1233,6 + 623,7 + 1020,6 + 826,5 + 1044,6 + 2356,8 + 3668,8 + 1021,2 + 25,2 = 18462,1
Cov(x,y) = 18462,1 - 20 times 6,24 times 88,319 = 18462,1 - 11049,619 = 7412,519 approx 390,13
Para a variância de x:
sum (x - barx)^2 = sum x^2 - n barx^2
sum x^2 = (5,9)^2 + (3,6)^2 + dots + (3,6)^2 = 34,81 + 12,96 + dots + 12,96 = 872,58
Var(x) = 872,58 - 20 times (6,24)^219 = 872,58 - 776,3219 = 96,2619 approx 5,07

Passo 5

Com a covariância e a variância de x, podemos encontrar o coeficiente b da réta de regressão usando:
b = Cov(x,y)Var(x) = 390,135,07 approx 76,88
Agora, para encontrar o coeficiente a, usamos a fórmula:
a = bary - b barx = 88,3 - 76,88 times 6,24
a = 88,3 - 479,07 approx -390,77

Resposta

A reta de regressão estimada é:
boxedy = -390,77 + 76,88,x

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