Embora o fumo tenha sido banido de muitos locais públicos na Europa, uma grande proporção de adultos europeus ainda fuma diariamente. Em uma amostra de 250 adultos na Bulgária, 92 eram fumantes diários e, em outra amostra aleatória de 300 adultos na Grécia, 114 eram fumantes diários. Há alguma evidência que sugira que a verdadeira proporção de fumantes diários seja diferente na Bulgária e na Grécia? Use alpha = 0,05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de comparação de proporções aqui. A pergunta é se a porcentagem de fumantes diários é diferente na Bulgária e na Grécia. Para resolver isso, vamos usar um teste de proporções. Precisamos das informações das duas amostras: tamanho das amostras e número de fumantes em cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que queremos testar:
  • Hipótese nula (H₀): As proporções de fumantes são iguais na Bulgária e na Grécia. Matemáticamente, isso fica: $ p_1 = p_2 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): As proporções de fumantes são diferentes. Ou seja, $ p_1 \neq p_2 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as proporções observadas de fumantes em cada país.
  • Bulgária:
    • Número de fumantes: 92
    • Tamanho da amostra: 250
    • Proporção ($ \hat{p}_1 $): $ \frac{92}{250} = 0,368 $ ou 36,8%
  • Grécia:
    • Número de fumantes: 114
    • Tamanho da amostra: 300
    • Proporção ($ \hat{p}_2 $): $ \frac{114}{300} = 0,38 $ ou 38%

Passo 4

Para comparar as duas proporções, precisamos calcular a proporção combinada ($ \hat{p} $), que considera o total de fumantes e o total de pessoas nas duas amostras.
p

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão da diferença entre as duas proporções. O erro padrão nos ajuda a entender a variabilidade esperada na diferença das proporções se a hipótese nula for verdadeira.
Erro padrão = raizp(1 - p) ( 1n1 + 1n2 ) = raiz0,3745 times 0,6255 ( 1250 + 1300 ) ã
Calculando:
Erro padrão approx raiz0,3745 times 0,6255 times (0,004 + 0,003333) ã
Erro padrão approx raiz0,3745 times 0,6255 times 0,007333 ã
Erro padrão approx raiz0,3745 times 0,6255 times 0,007333 approx raiz0,001719 approx 0,04148 ã

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor z, que nos indica quantos erros padrões a diferença observada está da hipótese nula.
z = p1 - p2Erro padrão = 0,368 - 0,380,04148 approx -0,0120,04148 approx -0,289 ã

Passo 7

Vamos comparar o valor z com o nível de significância ($ \alpha = 0,05 $). Para um teste bicaudal, os valores críticos são aproximadamente -1,96 e +1,96.
Alternativamente, podemos calcular o p-valor correspondente ao z calculado. Um z de -0,289 corresponde a um p-valor maior que 0,05.

Passo 8

Como o valor z está entre -1,96 e +1,96, e o p-valor é maior que 0,05, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para concluir que a proporção de fumantes diários seja diferente entre a Bulgária e a Grécia ao nível de significância de 5%.

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