João tem bolas e caixas numeradas. Ele colocou as bolas 1 e 2 na primeira caixa, as de números 3, 4 e 5 na segunda caixa, as de números 6 e 7 na terceira caixa, as de números 8, 9 e 10 na quarta caixa, e assim por diante, ora colocando duas, ora colocando três bolas em caixas consecutivas. Qual é a caixa na qual João colocou a bola de número 2023?
(A) 100²
(B) 4053
© 406ª
(D) 808ª
(E) 8102 ​

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem João que está colocando bolas numeradas em caixas também numeradas. Ele alterna colocando duas bolas em uma caixa e três na próxima, sempre seguindo essa sequência. Nosso objetivo é descobrir em qual caixa a bola número 2023 foi colocada. Vamos precisar entender como essa sequência de 2 e 3 bolas funciona para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão de como as bolas são distribuídas nas caixas. João coloca duas bolas na primeira caixa, três na segunda, depois duas na terceira, e assim vai. Então a sequência é: 2, 3, 2, 3, 2, 3, …

Passo 3

Sabendo que as bolas estão sendo colocadas de dois em dois e três em três, podemos agrupar as caixas em pares. Cada par de caixas vai conter um total de 5 bolas (2 na primeira e 3 na segunda). Isso simplifica nosso cálculo porque agora podemos trabalhar com grupos de 5 bolas.

Passo 4

Agora, vamos calcular quantos grupos de 5 bolas precisamos para chegar próximo da bola 2023. Para isso, dividimos 2023 por 5:
20235 = 404,6
Isso significa que temos 404 grupos completos de 5 bolas, totalizando 404 times 5 = 2020 bolas.

Passo 5

Restam então 2023 - 2020 = 3 bolas para chegar à bola número 2023. Isso quer dizer que precisamos de mais uma caixa após os 404 grupos completos.

Passo 6

Cada grupo de 2 caixas representa 5 bolas. Então, 404 grupos correspondem a 404 times 2 = 808 caixas. Como temos mais 3 bolas restantes, que são colocadas na próxima caixa, a caixa onde a bola 2023 está é a caixa 809ª.

Resposta

A bola de número 2023 está na caixa 809ª.

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