A temperatura de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da hora ℎ do dia, pela expressão (ℎ) = −ℎ² + 22ℎ − 85. Responda:
a) em quais horários a temperatura é 0°C?
b) em que período(s) do dia a temperatura é positiva? Justifique sua resposta com o esboço do gráfico.
c) em que horário a temperatura é máxima? Qual é a temperatura máxima?
a) em quais horários a temperatura é 0°C?
b) em que período(s) do dia a temperatura é positiva? Justifique sua resposta com o esboço do gráfico.
c) em que horário a temperatura é máxima? Qual é a temperatura máxima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a temperatura de uma estufa, que depende da hora do dia através da função $ T(h) = -h^2 + 22h - 85 $. Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas para resolver as três partes do exercício: encontrar quando a temperatura é zero, em quais períodos ela é positiva e determinar a temperatura máxima e quando ela ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir em quais horários a temperatura é 0°C. Isso significa que temos que resolver a equação $ T(h) = 0 $:
Essa é uma equação quadrática da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 22 $ e $ c = -85 $.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta $ é positivo, temos duas soluções reais.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas soluções:
Então, a temperatura é 0°C nas horas 5h e 17h.
Passo 5
Agora, vamos descobrir em quais períodos a temperatura é positiva, ou seja, $ T(h) > 0 $. Sabemos que a função é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de $ h^2 $ é negativo). Os zeros da função são nas horas 5h e 17h, que são os pontos onde a temperatura cruza 0.
Então, entre esses dois horários, a parábola está acima do eixo $ h $, indicando que a temperatura é positiva. Fora desse intervalo, está abaixo, ou seja, negativa.
Passo 6
Para encontrar quando a temperatura é máxima, precisamos determinar o vértice da parábola. A hora em que isso ocorre é dada por:
Então, a temperatura máxima ocorre às 11h.
Passo 7
Vamos calcular a temperatura máxima substituindo $ h = 11 $ na função:
Portanto, a temperatura máxima é de 36°C.
Resposta
a) A temperatura é 0°C às 5h e às 17h.
b) A temperatura é positiva no período das 5h às 17h.
c) A temperatura máxima é de 36°C, ocorrendo às 11h.