Jogo de dados. Dois jogadores estão confrontando-se entre si, usando dois dados, numerados de 1 até 6 (dado <random.randint(1,6)). Vence uma rodada quem obtiver o maior número no lançamento. Entretanto, caso um jogador obtiver um lançamento com dois dados iguais (por exemplo, 1 e 1 , 2 e 2, ldots. ) e o outro jogador não, o jogador que tiver lançado a dupla ganha. Caso os dois jogadores fizerem o lançamento e o resultado for de duas duplas para os dois jogadores, ganha o jogador com a dupla maior. A disputa é em 11 lançamentos. Indique o jogador vencedor ou se houve empate.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre um jogo de dados entre dois jogadores. Cada um lança dois dados numerados de 1 a 6. Aquele que tirar o número maior em seus dados ganha a rodada. Mas tem umas regrinhas extras:
  • Se um jogador tirar dois números iguais (tipo dois 3) e o outro não, quem tirou a dupla ganha a rodada.
  • Se os dois tirarem duplas, quem tiver a dupla maior ganha.
    A disputa acontece em 11 rodadas e no final queremos saber quem vence ou se deu empate.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades dos dados e como comparar os resultados entre os jogadores em cada rodada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as probabilidades de cada situação que pode acontecer em uma rodada:
  1. Um jogador tira dupla e o outro não.
  2. Ambos tiram dupla.
  3. Nenhum tira dupla e os números são diferentes.
Vamos analisar cada caso para ver quem sai vencedor.

Passo 3

Probabilidade de tirar dupla:
Em dois dados, a quantidade de duplas possíveis são (1,1), (2,2), …, (6,6). Ou seja, 6 duplas no total. Como há 36 combinações possíveis ao lançar dois dados (6 faces no primeiro dado multiplicadas por 6 no segundo), a probabilidade de tirar uma dupla é:
P(dupla) = 636 = 16
Probabilidade de não tirar dupla:
P(não dupla) = 1 - P(dupla) = 1 - 16 = 56 ã

Passo 4

Caso 1: Um jogador tira dupla e o outro não.
  • A probabilidade de Jogador A tirar dupla e Jogador B não é:
P(A, dupla e, B, não dupla) = 16 times 56 = 536 ã
  • Da mesma forma, a probabilidade de Jogador B tirar dupla e Jogador A não é:
P(B, dupla e, A, não dupla) = 16 times 56 = 536 ã
Total para o Caso 1:
P(um tira dupla e o outro não) = 536 + 536 = 1036 = 518 ã
Nesse caso, sempre o jogador que tirou a dupla ganha a rodada.

Passo 5

Caso 2: Ambos os jogadores tiram dupla.
  • A probabilidade de ambos tirarem dupla é:
P(A, dupla e, B, dupla) = 16 times 16 = 136
Quando ambos tiram dupla, quem tem a dupla maior vence. As duplas vão de (1,1) até (6,6), então há igual chance de cada jogador ter a dupla maior ou empatar se tirarem a mesma dupla.
Probabilidade de Jogador A ter dupla maior:
Como há 6 duplas, para cada dupla de Jogador A, Jogador B tem 5 opções menores. Então:
P(A, dupla maior) = 16 times 56 = 536
Probabilidade de Jogador B ter dupla maior:
Também é:
P(B, dupla maior) = 536
Probabilidade de empate (mesma dupla):
P(empate) = 136

Passo 6

Caso 3: Nenhum dos jogadores tira dupla.
Aqui, ambos têm resultados diferentes. Vamos calcular a probabilidade de cada um ter o número maior.
A probabilidade de Jogador A ter um número maior que Jogador B quando nenhum tira dupla pode ser calculada considerando que há 30 combinações onde dois números são diferentes (já que 6 das 36 são duplas).
Em média, cada jogador tem igual chance de ter um número maior.
Então:
P(A, ganha sem dupla) = 1530 = 12
P(B, ganha sem dupla) = 1530 = 12

Passo 7

Agora, vamos resumir as probabilidades de cada jogador ganhar uma rodada:
  1. Jogador A tira dupla e B não:
    • Jogador A ganha:
  2. Jogador B tira dupla e A não:
    • Jogador B ganha:
  3. Ambos tiram dupla:
    • Jogador A ganha:
    • Jogador B ganha:
    • Empate:
  4. Nenhum tira dupla:
    • Jogador A ganha:
    • Jogador B ganha:

Passo 8

Calculando as probabilidades totais de cada jogador ganhar uma rodada:
  • Probabilidade de Jogador A ganhar:
P(A) = 536 (dupla de A) + 536 (ambos duplas, A maior) + 512 (nenhum dupla, A maior) = 536 + 536 + 1536 = 2536
  • Probabilidade de Jogador B ganhar:
P(B) = 536 (dupla de B) + 536 (ambos duplas, B maior) + 512 (nenhum dupla, B maior) = 536 + 536 + 1536 = 2536
  • Probabilidade de empate em uma rodada:
P(empate) = 136

Passo 9

Assim, em cada rodada, tanto o Jogador A quanto o Jogador B têm a mesma probabilidade de ganhar e há uma pequena chance de empate .
Como a disputa é de 11 rodadas e as rodadas são independentes, a expectativa é que ambos os jogadores ganhem aproximadamente o mesmo número de rodadas.

Resposta

Após analisar as probabilidades, concluímos que os dois jogadores têm a mesma chance de vencer a disputa de 11 lançamentos, resultando em empate.

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